leetcode刷题之动态规划法NO.2

1.题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。

2.思路

2.1.读题

• n阶才能到
• 每次只能爬1或2阶
• 未知量是爬到n阶的方法数

2.2.分析

• 首先明确该题目含有最优子结构，因此可以使用动态规划算法。
• 其次，解决动态规划问题的时候，第一就是明确状态，那么什么是状态呢？状态就是子问题的解，因此找到子问题，状态就浮现出来了。对于这个题，状态就是爬上x阶，用到的方法数f(x)。
• 然后，第二点就是找出状态转移方程，那么什么是状态转移方程呢？状态转移方程就是状态之间的转换方程。对于该问题来讲，x阶的前一个状态由于选择的不同，是x-1阶或x-2阶。因此状态转移方程就是f(x) = f(x-1) + f(x-2)。

3.实现

实现有多种方式，第一种就是直接用递归，但是算法复杂度太高；第二种就是带记忆的递归；第三种是带DP的递推。此外，还有好多方法，比如使用数学公式、矩阵幂等。

3.1.递归方法

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
       if (n == 0) return 1;
       if (n == 1) return 1;

       return climbStairs(n-2) + climbStairs(n-2); 
    }
};

3.2.带记忆的递归方法

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
       if (n == 0) return 1;
       if (n == 1) return 1;
       vector<int> mem(n+1, 0);   
   
       return helper(mem, n);
    }
	
    int helper(vector<int> &mem, int n) {
    mem[0] = 1;
    mem[1] = 1;
	
    if (mem[n] != 0) return mem[n];
    mem[n] = helper(mem, n-2) + helper(mem, n-1);
	
    return mem[n];
    }
};

3.3.递推法

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
       if (n == 0) return 1;
       if (n == 1) return 1;
	   
       vector<int> dp(n+1, 0);
       dp[0] = dp[1] = 1;
       for (int i=2; i<=n; i++) {
	   dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
       }
	   
       return dp[i];
    }
};