算法第5章实验报告
算法第5章实验报告
1. 请用回溯法的方法分析“最小重量机器设计问题”
算法描述：
由于题目已经给出总价格的上限，因此算法通过使用回溯来选择合适的机器使得在总价格不超过 d 时得到的机器重量最小。首先初始化当前价格 cc=0 ,当前重量 cw=0 ,此外，还要设置一个变量 mincw 表示选择机器的总重量，初始化其为每个部件从1号供应商购买的重量。在循环选择 i 号机器时，判断从 j 号供应商购买机器后的价格是否大于总价格，如果不大于则选择，否则不选，继续选择下一供应商进行判断。在得到一个合适的供应商后，继续选择下一机器的供应商，从第一个选到最后一个供应商，记录下每个部件选择的供应商 x[i] 。当所有机器选择结束后，判断得到的总重量是否比之前的 mincw 小，如果小就赋给 mincw ，然后从这一步开始，回溯到上一机器，选择下一合适供应商，继续搜索可行解，直到将整个排列树搜索完毕。这样，最终得到的 mincw 即为最优解。
当然，考虑到算法的时间复杂度，还可以加上一个剪枝条件，即在每次选择某一机器时，再判断选择后的当前重量是否已经大于之前的 mincw ，如果大于就没必要继续搜索了，因为得到的肯定不是最优解。
解题步骤：
a.部件有 n 个，供应商有 m 个，分别用两个二维数组 w[i][j] 和 c[i][j] 存储从供应商 j 处购得的部件 i 的重量和相应价格，d 为总价格的上限。
b.用递归函数 backtrack(t) 来实现回溯法搜索排列树（形式参数 t 表示递归深度）。
① 若 cc > d ，则为不可行解，剪去相应子树，返回到 t-1 层继续执行。
② 若 cw >= mincw ，则不是最优解，剪去相应子树，返回到 t-1 层继续执行。
③ 若 t > n ，则算法搜索到一个叶结点，用 x[i] 对每个部件的供应商进行记录，用 mincw 对最优解进行记录，返回到 t-1 层继续执行；
④ 用 for 循环对 n 个顺序部件从 m 个不同的供应商购得的情况进行选择(1 ≤ i ≤ m）。
c.主函数调用一次 backtrack(1) 即可完成整个回溯搜索过程，最终得到的mincw即为所求最小总重量，x[i] 即为每个部件选择的供应商。
代码描述：
1 #include <iostream> 2 #include <cmath> 3 using namespace std; 4 5 int n,m,d; 6 int c[30][30]; 7 int w[30][30]; 8 int x[30]; 9 int cc; 10 int cw; 11 int mincw = 10000; 12 int minx[30]; 13 14 void backtrack(int t){ 15 if (t > n){ 16 if(cw < mincw){ 17 mincw = cw; 18 for (int i = 1; i < t; i++){ 19 minx[i] = x[i]; 20 } 21 } 22 return; 23 }else{ 24 for (int i = 1; i <= m; i++){ 25 x[t] = i; 26 cc = cc + c[t][i]; 27 cw = cw + w[t][i]; 28 if (cc <= d && cw < mincw){ 29 backtrack(t+1); 30 } 31 cc = cc - c[t][i]; 32 cw = cw - w[t][i]; 33 } 34 35 } 36 37 } 38 39 int main(int argc, char** argv) { 40 cin >> n >> m >> d; 41 for (int i = 1; i <= n; i++){ 42 for (int j = 1; j <= m; j++){ 43 cin >> c[i][j]; 44 } 45 } 46 for (int i = 1; i <= n; i++){ 47 for (int j = 1; j <= m; j++){ 48 cin >> w[i][j]; 49 } 50 } 51 backtrack(1); 52 cout << mincw << endl; 53 for (int i = 1; i <= n; i++){ 54 cout << minx[i] << " "; 55 } 56 return 0; 57 }
1.1 说明“最小重量机器设计问题"的解空间
解空间即进行穷举的搜索空间，包含所有的可能解，这里以样例为例写出解空间：
（i，j，k）表示第1个部件选择第i个供应商，第2个部件选择第j个供应商，第3个部件选择第k个供应商，以此类推。
（1，1，1）（1，1，2）（1，1，3）
（1，2，1）（1，2，2）（1，2，3）
（1，3，1）（1，3，2）（1，3，3）
（2，1，1）（2，1，2）（2，1，3）
（2，2，1）（2，2，2）（2，2，3）
（2，3，1）（2，3，2）（2，3，3）
（3，1，1）（3，1，2）（3，1，3）
（3，2，1）（3，2，2）（3，2，3）
（3，3，1）（3，3，2）（3，3，3）
1.2 说明 “最小重量机器设计问题"的解空间树
1.3 在遍历解空间树的过程中，每个结点的状态值是什么。
每个结点的状态值是该点当前的总重量 cw 和总价格 cc 。
2. 你对回溯算法的理解
2.1 基本概念：
回溯法思路的简单描述是：把问题的解空间转化成了图或者树的结构表示，然后使用深度优先搜索策略进行遍历，遍历的过程中记录和寻找所有可行解或者最优解。
2.2 使用条件：
当问题是要求满足某种性质（约束条件）的所有解或最优解时，便可以使用回溯法，其实有暴力剪枝的意味
2.3 使用思想：
回溯法常常使用DFS（深度优先搜索）来进行对解空间的答案搜索。
首先从根根部节点出发搜索解空间，当搜索至解空间的某一节点时，先利用约束或限界剪枝函数来判断该节点是否是问题的解。如果不是，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
回溯法的基本行为是暴力搜索，搜索过程进行剪枝来为了避免无效冗余的搜索。
剪枝主要包括两类：
1. 使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径；
2. 使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。
2.4 回溯算法的经典问题种类：
（1）装载问题
（2）0-1背包问题
（3）旅行售货员问题
（4）n后问题
