可爱捏

可爱捏

题意

给出 \(n\) 个整数 \(a_i(1\le i\le n)\)。

求最多选出多少个数，使她们两两的乘积不为完全立方数。

\(n\le 10^5,a_i \le 10^5\)。

思路

可以先将 \(a_i\) 分解质因数，将所有指数 \(\bmod 3\)，两个数相乘为完全平方数即对应指数相加等于 \(3\)。

由此可知对于每个数，和她相乘等于完全立方数的数是唯一确定的。

如果我们能求出指数 \(\bmod 3\) 后的值和对应的数，就能简单的算出答案。

发现每对数之间互相独立，只需要选择数量多的一个即可。

但 \(O(n\sqrt V)\) 的时间去分解质因数会 TLE，考虑优化。

由于我们求的是指数 \(\bmod 3\) 后的数，只有小于等于 \(\sqrt[3]{V}\) 的质因数的指数才有可能大于等于 \(3\)，

我们只需要暴力求出小于等于 \(\sqrt[3]{V}\) 的质因数，其他分类讨论。

记 \(x\) 表示 \(a_i\) 除掉所有小于等于 \(\sqrt[3]{V}\) 的质因数后剩下的数，

我们发现 \(x\) 最多由两个质数组成，用反证法容易证明：

若 \(x=pqr\)，根据 \(p,q,r > \sqrt[3]{x}\)，有 \(pqr > x\)，矛盾。

分类讨论：

1. \(x=1\)；

2. \(x\) 由两个相同质数组成；

3. \(x\) 由一个或两个不同质数组成。

乘上对应的数即可。

时间复杂度：\(O(n\sqrt[3]{V}+n\log n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
int n, s[N], ans;
map <int, int> cnt, ne;
set <int> used;
vector <int> _;
signed main() {
	freopen("lovely.in", "r", stdin);
	freopen("lovely.out", "w", stdout);
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> s[i];
	for (int i = 1, c; i <= n; i ++) {
		int x = 1, y = 1, t = s[i]; // x;指数 mod 3 后的数 y:x对应的数
		for (int j = 2; j * j * j <= s[i]; j ++) { // 暴力分解
			for (c = 0; t % j == 0; t /= j, c = (c + 1) % 3);
			for (int k = 1; c && k <= c; k ++) x *= j;
			for (int k = 1; c && k <= 3 - c; k ++) y *= j;
		}
		if ((int)sqrt(t) * (int)sqrt(t) == t) y *= sqrt(t); // 分类讨论
		else y *= t * t;
		x *= t, cnt[x] ++, ne[x] = y, _.push_back(x);
	}
	for (auto x : _) {
		if (x == 1) continue;
		if (used.count(x) || used.count(ne[x])) continue;
		ans += max(cnt[x], cnt[ne[x]]); // x 和 x 对应的数只能取一个 个数较大的
		used.insert(x); used.insert(ne[x]);
	}
	cout << ans + (cnt[1] > 0) << "\n";
	return 0;
}