马

马

题意

有 $n$ 个数，初始全为 $1$。有 $3$ 种操作：

1. 将任意一个数 $a\leftarrow a+50$；
2. 将任意一个数 $a\leftarrow a+20$；
3. 将任意一个数 $a\leftarrow a\times 2$。

给出每种操作的个数，你可以以任意顺序执行任意操作。

求最多执行多少个操作，使得操作结束后任意 $a_i\le 100$。

思路

定义 $d{p}_{i,j,k,l}$ 表示考虑前 $i$ 个数，执行了 $j$ 次 $1$ 操作，$k$ 次 $2$ 操作，$l$ 次 $3$ 操作，$a_i$ 的最小值。

状态转移方程（类似于完全背包的转移）：

$$d{p}_{i,j,k,l}=min\{d{p}_{i,j-1,k,l}+50,d{p}_{i,j,k-1,l}+20,d{p}_{i,j,k,l-1}\times 2\}$$

$$d{p}_{i,j,k,l}=1(d{p}_{i-1,j,k,l}\le 100)$$

为确保不会溢出，转移时可以先判断是否 $\le 100$ 再转移。

状态数：$O(n{m}^3)$，转移：$O(1)$，总时间复杂度：$O(n{m}^3)$。

空间可以使用滚动数组优化，$O(m^3)$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 305;
int n, m, ans;
int a, b, c;
int dp[2][301][301][301];
bool ok[2][301][301][301];
int main() {
	freopen("horse.in", "r", stdin);
	freopen("horse.out", "w", stdout);
	cin >> n >> m;
	cin >> a >> b >> c;
	dp[0][0][0][0] = 1, ok[0][0][0][0] = 1;
	for (int i = 1, p = 1; i <= n; i ++, p ^= 1) {
		for (int j = 0; j <= a; j ++) {
			for (int k = 0; k <= b; k ++) {
				for (int l = 0; l <= c; l ++) {
					dp[p][j][k][l] = 1e9, ok[p][j][k][l] = 0;
					if (ok[p ^ 1][j][k][l]) dp[p][j][k][l] = 1;
					if (j && ok[p][j - 1][k][l]) dp[p][j][k][l] = min(dp[p][j][k][l], dp[p][j - 1][k][l] + 50);
					if (k && ok[p][j][k - 1][l]) dp[p][j][k][l] = min(dp[p][j][k][l], dp[p][j][k - 1][l] + 20);
					if (l && ok[p][j][k][l - 1]) dp[p][j][k][l] = min(dp[p][j][k][l], dp[p][j][k][l - 1] * 2);
					ok[p][j][k][l] = (dp[p][j][k][l] <= 100);
					if (ok[p][j][k][l]) ans = max(ans, j + k + l);
				}
			}
		}
	}
	cout << ans << "\n";
	return 0;
}