Educational Codeforces Round 80 (CF1288)

Educational Codeforces Round 80 (CF1288)

A. Deadline

题意

给出正整数 $n,d$，求不等式 $x+\lceil \frac{d}{x+1}\rceil \le n$ 是否有非负整数解。

思路

先不考虑上取整，

$$x+\frac{d}{x+1}=x+1+\frac{d}{x+1}-1\ge 2\sqrt{d}-1$$

当且仅当 $x+1=\frac{d}{x+1}$ 即 $x=\sqrt{d}-1$ 时取得最小值。

我们只需要判断最小值是否小于 $n$ 即可。

加上上取整后，最小值一定在 $x=\lfloor \sqrt{d}\rfloor -1$ 或 $\lceil \sqrt{d}\rceil -1$ 时取到。

只用代入并判断是否成立即可。

B. Yet Another Meme Problem

题意

给出正整数 $A,B$，求有多少对 $(a,b)(1\le a\le A,1\le b\le B)$，

满足 $a\times b+a+b=conc(a,b)$，$conc(a,b)$ 表示 $a,b$ 拼接后形成的数。

思路

$$conc(a,b)={10}^{{\log }_{10}b+1}a+b$$

左右同减 $b$ 得：

$$a\times b+a={10}^{{\log }_{10}b+1}a$$

同除 $a$ 得：

$$b+1={10}^{{\log }_{10}b+1}$$

$b$ 就等于 $9,99,999,\dots$，容易发现 $n$ 以内这些数的个数为 $\lfloor {\log }_{10}(n+1)\rfloor$。

对于这些 $b$，所有 $a$ 都能与它们配对，所以答案为：

$$\lfloor {\log }_{10}(B+1)\rfloor \times A$$

C. Two Arrays

题意

给出正整数 $n,m$，求数列 $(A,B)$ 的个数，满足：

$|A|=|B|=m$，$1\le A_i\le B_i\le n$，$A$ 不减，$B$ 不增。

答案对 ${10}^9+7$ 取模。

思路

定义 $d{p}_{i,j,k}$ 表示考虑前 $i$ 个位置，$A_i=j,B_i=k$ 的方案数。

答案为 $\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^{n}d{p}_{m,i,j}$。

转移方程：

$$d{p}_{t,i,j}=\sum _{k=1}^i\sum _{l=j}^{n}d{p}_{t-1,k,l}$$

状态数 $O(m{n}^2)$ 转移 $O(n^2)$，总时间复杂度 $O(m{n}^4)$，考虑优化。

发现转移可以使用二维前缀和优化至 $O(1)$ （左上角 $(1,j)$，右下角 $(i,n)$ 的矩形和），总时间复杂度 $O(m{n}^2)$。

D. Minimax Problem

题意

给出正整数 $n,m$，和 $n$ 个长度为 $m$ 的序列。

可以选择两个序列 $i,j$ 组合出新的序列 $b$ 满足 $b_k=max(a_{i,k},a_{j,k})$。

求 $min{b}_i$ 的最大值。

思路

看到最小值最大可以想到二分。

考虑二分答案 $x$，根据题意，$a_{i,k}$ 和 $a_{j,k}$ 中至少有一个大于等于 $x$。

又看到 $m\le 8$ 可以想到装压，把每个序列压成一个 $m$ 位二进制数 $S$。

第 $i$ 位代表 $a_i$ 是否大于等于 $x$。

两个序列满足答案即 $S_i\text{ or }{S}_j=2^m-1$。

显然无法直接枚举两个序列，可以转化为枚举两个状态并判断是否存在。

时间复杂度：$O(\log W(nm+4^m))$。

E. Messenger Simulator

题意

给出正整数 $n,m$ 和长度为 $m$ 的序列 $A$。

有长度为 $n$ 的序列 $B$，初始时 $B_i=i$。

对于每个 $A_i$，把 $B$ 中 $A_i$ 移动到第一位。

求每个数在 $B$ 中出现过的最大位置和最小位置。

思路

在序列开头插入，会使部分数的位置改变，不便于维护。

由于插入的次数固定为 $m$，我们可以先在 $B$ 序列前预留 $m$ 个空位出来插入。

把 $A_1$ 至 $A_m$ 从 $m$ 至 $1$ 倒着插入。

这样确实方便了插入，但查询数的真实位置（去除空位）变得复杂。

数的真实位置为该数在 $B$ 序列中的位置及前面位置中数的个数，用树状数组维护。

插入数和维护树状数组的同时更新答案。

时间复杂度：$O(n+m\log (n+m))$。