Educational Codeforces Round 80 (CF1288)

Educational Codeforces Round 80 (CF1288)

A. Deadline

题意

给出正整数 \(n,d\)，求不等式 \(x+\lceil \frac{d}{x+1}\rceil \le n\) 是否有非负整数解。

思路

先不考虑上取整，

\[x+ \frac{d}{x+1} = x+1+\frac{d}{x+1} -1 \ge 2\sqrt d -1 \]

当且仅当 \(x+1=\frac{d}{x+1}\) 即 \(x=\sqrt d - 1\) 时取得最小值。

我们只需要判断最小值是否小于 \(n\) 即可。

加上上取整后，最小值一定在 \(x=\lfloor \sqrt d \rfloor - 1\) 或 \(\lceil \sqrt d \rceil - 1\) 时取到。

只用代入并判断是否成立即可。

B. Yet Another Meme Problem

题意

给出正整数 \(A,B\)，求有多少对 \((a,b)(1\le a\le A,1\le b \le B)\)，

满足 \(a \times b + a + b = conc(a,b)\)，\(conc(a,b)\) 表示 \(a,b\) 拼接后形成的数。

思路

\[conc(a,b)=10^{\log_{10}b+1} a+b \]

左右同减 \(b\) 得：

\[a \times b+a = 10^{\log_{10}b+1}a \]

同除 \(a\) 得：

\[b+1=10^{\log_{10} b+1} \]

\(b\) 就等于 \(9,99,999,\dots\)，容易发现 \(n\) 以内这些数的个数为 \(\lfloor\log_{10}(n+1)\rfloor\)。

对于这些 \(b\)，所有 \(a\) 都能与它们配对，所以答案为：

\[\lfloor\log_{10}(B+1)\rfloor \times A \]

C. Two Arrays

题意

给出正整数 \(n,m\)，求数列 \((A,B)\) 的个数，满足：

\(|A|=|B|=m\)，\(1 \le A_i \le B_i\le n\)，\(A\) 不减，\(B\) 不增。

答案对 \(10^9+7\) 取模。

思路

定义 \(dp_{i,j,k}\) 表示考虑前 \(i\) 个位置，\(A_i=j,B_i=k\) 的方案数。

答案为 \(\sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^{n} dp_{m,i,j}\)。

转移方程：

\[dp_{t,i,j} = \sum_{k=1}^{i} \sum_{l=j}^{n} dp_{t-1,k,l} \]

状态数 \(O(mn^2)\) 转移 \(O(n^2)\)，总时间复杂度 \(O(mn^4)\)，考虑优化。

发现转移可以使用二维前缀和优化至 \(O(1)\) （左上角 \((1,j)\)，右下角 \((i,n)\) 的矩形和），总时间复杂度 \(O(mn^2)\)。

D. Minimax Problem

题意

给出正整数 \(n,m\)，和 \(n\) 个长度为 \(m\) 的序列。

可以选择两个序列 \(i,j\) 组合出新的序列 \(b\) 满足 \(b_k=\max(a_{i,k},a_{j,k})\)。

求 \(\min b_i\) 的最大值。

思路

看到最小值最大可以想到二分。

考虑二分答案 \(x\)，根据题意，\(a_{i,k}\) 和 \(a_{j,k}\) 中至少有一个大于等于 \(x\)。

又看到 \(m\le 8\) 可以想到装压，把每个序列压成一个 \(m\) 位二进制数 \(S\)。

第 \(i\) 位代表 \(a_i\) 是否大于等于 \(x\)。

两个序列满足答案即 \(S_i \text{ or } S_j = 2^m-1\)。

显然无法直接枚举两个序列，可以转化为枚举两个状态并判断是否存在。

时间复杂度：\(O(\log W (nm+4^m))\)。

E. Messenger Simulator

题意

给出正整数 \(n,m\) 和长度为 \(m\) 的序列 \(A\)。

有长度为 \(n\) 的序列 \(B\)，初始时 \(B_i=i\)。

对于每个 \(A_i\)，把 \(B\) 中 \(A_i\) 移动到第一位。

求每个数在 \(B\) 中出现过的最大位置和最小位置。

思路

在序列开头插入，会使部分数的位置改变，不便于维护。

由于插入的次数固定为 \(m\)，我们可以先在 \(B\) 序列前预留 \(m\) 个空位出来插入。

把 \(A_1\) 至 \(A_m\) 从 \(m\) 至 \(1\) 倒着插入。

这样确实方便了插入，但查询数的真实位置（去除空位）变得复杂。

数的真实位置为该数在 \(B\) 序列中的位置及前面位置中数的个数，用树状数组维护。

插入数和维护树状数组的同时更新答案。

时间复杂度：\(O(n+m\log(n+m))\)。