难题

难题

题意

定义 $f(i)$ 为非 $i$ 因数的最小正整数，给出 $n$，求 $\sum _{i=1}^{n}f(i)mod{10}^9+7$。

思路

显然 $f(i)\ge 2$。

若 $f(i)=x$，则 $f(i)$ 一定为 $\text{lcm}(1,2,\dots ,x-1)$ 的倍数，但不是 $\text{lcm}(1,2,\dots ,x)$ 的倍数。

可以枚举 $x$，统计有多少个数的答案为 $x$，即：

$$ans=\sum _{x=2}x\times (\lfloor \frac{n}{\text{lcm}(1,2,\dots ,x-1)}\rfloor -\lfloor \frac{n}{\text{lcm}(1,2,\dots ,x)}\rfloor )$$

化简一下可以得到：

$$ans=2n+\sum _{x=2}\lfloor \frac{n}{\text{lcm}(1,2,\dots ,x)}\rfloor$$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;

signed main() {
	freopen("math.in", "r", stdin);
	freopen("math.out", "w", stdout);
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	int T; cin >> T;
	while (T --) {
		int n, ans, l = 1; cin >> n;
		ans = 2 * n % mod;
		for (int i = 2; ; i ++) {
			l = lcm(l, i);
			ans += (n / l), ans %= mod;
			if (l > n) break;
		}
		cout << ans << "\n";
	}
	return 0; 
}