难题

难题

题意

定义 \(f(i)\) 为非 \(i\) 因数的最小正整数，给出 \(n\)，求 \(\sum_{i=1}^{n} f(i) \bmod 10^9+7\)。

思路

显然 \(f(i) \ge 2\)。

若 \(f(i)=x\)，则 \(f(i)\) 一定为 \(\text{lcm}(1,2,\dots,x-1)\) 的倍数，但不是 \(\text{lcm}(1,2,\dots,x)\) 的倍数。

可以枚举 \(x\)，统计有多少个数的答案为 \(x\)，即：

\[ans=\sum_{x=2}x\times (\lfloor\frac{n}{\text{lcm}(1,2,\dots,x-1)}\rfloor-\lfloor\frac{n}{\text{lcm}(1,2,\ldots,x)}\rfloor) \]

化简一下可以得到：

\[ans=2n+\sum_{x=2} \lfloor \frac{n}{\text{lcm}(1,2,\dots,x)}\rfloor \]

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;

signed main() {
	freopen("math.in", "r", stdin);
	freopen("math.out", "w", stdout);
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	int T; cin >> T;
	while (T --) {
		int n, ans, l = 1; cin >> n;
		ans = 2 * n % mod;
		for (int i = 2; ; i ++) {
			l = lcm(l, i);
			ans += (n / l), ans %= mod;
			if (l > n) break;
		}
		cout << ans << "\n";
	}
	return 0; 
}