后缀数组求 LCP 和相关证明

后缀数组求 LCP 和相关证明

一些定义

\(\text{SA}(i)\) 排名为 \(i\) 的后缀左端点；\(\text{rank}(i)\) 左端点为 \(i\) 的后缀排名；\(\text{suf}(i)\) 左端点为 \(i\) 的后缀；

\(\text{lcp}(S,T)\)，串 \(S\) 和 \(T\) 的最长公共前缀，即 \(\max \left \{ x |\forall y\le x, S_{y}=S_{y}\}\right.\)；

\(\text{LCP}(i,j)\)，排名为 \(i\) 的后缀和排名为 \(j\) 的后缀的最长公共前缀，即 \(\text{lcp}(\text{suf}(\text{SA}(i)),\text{suf}(\text{SA}(j)))\)；

\(\text{height}(i)\)，排名为 \(i\) 和 \(i-1\) 的后缀的最长公共前缀，即 \(LCP(i,i-1)\)，特别地 \(\text{height}(1)=0\)；

\(h(i)=\text{height(rank}(i))\)。

性质1

对于 \(1\le i \le n\)，显然有：

\[\text{LCP}(i,i) = n-\text{SA}(i)+1 \]

\[\text{LCP}(i,j)=\text{LCP}(j,i) \]

定理 1

对于 \(1\le i < j \le n\)，有：

\[\text{LCP}(i,j)=\min_{i<k\le j} \left \{ \text{LCP}(k,k-1) \} \right. \]

证明：

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引理

对于 \(1\le i < j \le n\)，有：

\[\text{LCP}(i,j)=\min\left \{ \text{LCP}(i,k),\text{LCP}(k,j) \} \right. \text{ } (i\le k\le j) \]

证明：

设 \(\min \left \{ \text{LCP}(i,k),\text{LCP}(k,j) \} \right. = p\)，

则 \(\text{LCP}(i,k) \ge p,\text{LCP}(k+1,j)\ge p\)，

所以 \(i\) 和 \(k\) 至少有前 \(p\) 位相等，\(k\) 和 \(j\) 至少有前 \(p\) 位相等，

所以 \(\text{LCP}(i,j) \ge p\)；

又因为$ \min { \text{LCP}(i,k),\text{LCP}(k,j) } = p$，

设 \(\text{suf}(i)=a,\text{suf}(k)=b,\text{suf}(j)=c\)，

则有 \(a_{p+1}\ne b_{p+1}\) 或 \(b_{p+1}\ne c_{p+1}\)，

若 \(a_{p+1} \ne b_{p+1}\) 和 \(b_{p+1} \ne c_{p+1}\) 中仅有一个成立，显然有 \(a_{p+1}\ne c_{p+1}\)，

又根据 \(i,j,k\) 的排名关系，有 \(a_{p+1}\le b_{p+1}\le c_{p+1}\)，

若 \(a_{p+1} \ne b_{p+1}\) 和 \(b_{p+1} \ne c_{p+1}\) 均成立，假设 \(a_{p+1}=c_{p+1}\)，

则有 \(a_{p+1}=b_{p+1}=c_{p+1}\)，与条件矛盾，假设不成立，则 \(a_{p+1}\ne c_{p+1}\)

综上有 \(a_{p+1}\ne c_{p+1}\)，所以 \(\text{LCP}(i,j)\le p\)；

结合 \(\text{LCP}(i,j)\ge p\)，有 \(\text{LCP}(i,j)=p=\min\left \{ \text{LCP}(i,k),\text{LCP}(k,j) \} \right.\)，得证。

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根据引理，可推出：

\[\text{LCP}(i,j)=\min\left \{ \text{LCP}(i,k),\text{LCP}(k,j) \} \right. \]

\[\text{LCP}(i,j)=\min \left \{ \text{LCP}(i,i+1),\text{LCP}(i+1,j) \} \right. \]

\[\text{LCP}(i,j)=\min \left \{ \text{LCP}(i,i+1),\min \left \{ \text{LCP}(i+1,i+2), \text{LCP}(i+2,j)\} \right. \} \right. \]

归纳可得：

\[\text{LCP}(i,j)=\min_{i<k\le j} \left \{ \text{LCP} (k,k-1)\} \right. \]

得证。

转化

\[\text{LCP}(i,j)=\min_{i<k\le j} \left \{ \text{LCP} (k,k-1)\} \right. = \min_{i<k\le j} \left \{\text{height}_k \} \right. \]

这样 \(\text{LCP}\) 问题就转化为区间最值（\(\text{RMQ}\)）问题，可以使用 \(\text{ST}\) 表 \(O(n \log n)\) 预处理 \(O(1)\) 查询。

现在的问题就转化为了求 \(\text{height}\) 数组。

定理 2

对于 \(1<i\le n\)，有：

\[h(i)\ge h(i-1)-1 \]

证明：

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性质2

对于 \(1\le i,j < n,\text{lcp}(\text{suf}(i),\text{suf}(j))>1\)，有：

\[\text{suf}(i)<\text{suf}(j) \Longleftrightarrow \text{suf}(i+1)<\text{suf}(j+1) \]

\[\text{lcp}(\text{suf}(i),\text{suf}(j))-1=\text{lcp}(\text{suf}(i+1),\text{suf}(j+1)) \]

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定理 1 的引理的推论

对于 \(1\le i,j\le n\)，有：

\[\text{LCP}(i,j)\le\text{LCP}(k,j) \text{ } (i\le k\le j) \]

证明：根据定理 1 的引理，显然成立。

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当 \(h(i-1)\le 1\) 时，\(h(i)\ge 0\ge h(i-1)-1\)，得证；

当 \(h(i-1) > 1\) 时，即 \(\text{height}(\text{rank}(i-1))>1\)，

可推出 \(\text{rank}(i-1)>1\)，因为 \(\text{height}(1)=0\)，

令 \(j=i-1\)，\(k=\text{SA(rank}(j)-1)\)，有：

\(h(i-1)=\text{LCP}(\text{rank}(j),\text{rank}(k))=\text{lcp}(\text{suf}(j),\text{suf}(k))\)，

\(\text{suf}(k)<\text{suf(j)}\)，

因为 \(\text{lcp}(\text{suf}(j),\text{suf}(k)) = h(i-1)>1\)，根据性质2有：

\(h(i-1)-1=\text{lcp}(\text{suf}(i),\text{suf}(k+1))\)，

\(\text{suf}(k+1)<\text{suf}(i)\)

即 \(\text{rank}(k+1) < \text{rank}(i) \rightarrow \text{rank}(k+1)\le \text{rank}(i)-1\)，

根据定理 1 的引理的推论得：

\[\begin{align} \text{LCP}(\text{rank}(i)-1,\text{rank}(i)) &\ge \text{LCP}(\text{rank}(k+1),\text{rank}(i)) \\ &=\text{lcp}(\text{suf}(i),\text{suf}(k+1)) \\ &= h(i-1)-1 \end{align} \]

又因为 \(\text{LCP}(\text{rank}(i)-1,\text{rank}(i))=h(i)\)，所以 \(h(i)\ge h(i-1)-1\)，得证。

具体求法

有了定理 2 后，就可求出 \(\text{height}\) 数组。

先考虑暴力的代码，即从头开始暴力匹配，时间复杂度 \(O(n^2)\)。

根据定理 2，\(h(i)\ge h(i-1)-1\)，可以直接从 \(h(i-1)-1\) 开始匹配。

因为 \(h(i)\le n\)，每次 \(h(i)\) 最多减一，所以时间复杂度 \(O(n)\)。

代码

void get_height() {
	for (int i = 1, k = 0, j; i <= n; i ++) {
		if (rk[i] == 1) continue; // height[1]=0
		k = k ? k - 1 : k; // h[i-1]-1
		for (j = sa[rk[i] - 1]; 
			i + k <= n && j + k <= n 
			&& S[i + k] == S[j + k]; k ++);
		height[rk[i]] = k; // k=h[i]=height[rk[i]]
	}
}