字符串大师

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题意

一个串 \(T\) 是 \(S\) 的循环节，当且仅当存在正整数 \(k\)，使得 \(S\) 是 \(T^k\) （\(T\) 重复 \(k\) 次）的前缀。

给出字符串 \(S\) 每个前缀的最短循环节，求出字典序最小的 \(S\)。

思路

记字符串 \(S\) 的最短循环节为 \(d\)，有：

\[\text{len}(S)-\text{border}(S)=d \]

证明：

先证明引理：对于循环节 \(d\) 有 \([1,\text{len}(S)-d]=[d,\text{len}(S)]\)。

分类讨论，若循环节为完全循环，引理显然成立。

若循环节为不完全循环，记 \(\text{len(S)} \bmod d=p\)，

则 \([d,\text{len}(S)]\) 缺失的 \(p-d\) 个字符位于 \([\text{len}(S)-d+1,\text{len}(S)-p]\)，

\([1,\text{len}(S)-d]\) 同时也缺失了这一部分的字符。综上，引理得证。

根据引理：对于循环节 \(d\) 有 \([1,\text{len}(S)-d]=[d,\text{len}(S)]\)，

再加上 \(d\) 为最短循环节，所以 \([1,\text{len}(S)-d],[d,\text{len}(S)]\) 都是 \(\text{border(S)}\)，得证。

所以可以先用 \(\text{len}(S)-d\) 算出 \(\text{border}(S)\)，再通过反向的 KMP 还原字符串。

考虑 KMP 求 \(\text{border}\) 的过程：

首先令 \(\text{border}(1)=0\)。

对于 \(i \in [2,n]\)，

令 \(t = \text{border}(i-1)\)，重复 \(t \leftarrow \text{border}(t)\) 直到 \(t = 0\) 或 \(S_{t+1} = S_i\)。

若最后 \(t = 0\) 则 \(\text{border}(i)=0\)，否则 \(\text{border}(i)=t+1\)。

反过来同理。

首先令 \(S_1=A\)，因为要满足字典序最小。

对于 \(i\in[2,n]\)，

令 \(t = \text{border}(i-1)\)，重复 \(t\leftarrow\text{border}(t)\) 直到 \(t=0\) 或 \(t +1=\text{border}(i)\)。

每次 \(t\leftarrow\text{border}(t)\) 前，根据 KMP 求 \(\text{border}\) 的过程可知，\(S_{t+1}\ne S_i\)。

若最后 \(t\ne 0\)，可知 \(S_{t+1}=S_i\)，直接赋值即可。

若 \(t = 0\)，可通过上过程得到的若干组不等关系找出一个最小满足条件的 \(S_i\)。

时间复杂度：\(O(n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;

int n, fail[N];
char s[N];
bool neq[30];

int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		cin >> fail[i];
		fail[i] = i - fail[i];
	}
	s[1] = 'a';
	for (int i = 2, t; i <= n; i ++) {
		memset(neq, 0, sizeof(neq));
		for (t = fail[i - 1]; fail[i] != t + 1; t = fail[t]) {
			neq[s[t + 1] - 'a'] = 1;
			if (!t) break;
		}		
		if (fail[i] == t + 1) s[i] = s[t + 1];
		else {
			for (char x = 'a'; x <= 'z'; x ++) {
				if (!neq[x - 'a']) {
					s[i] = x;
					break;
				}
			}
		}
	}
	puts(s + 1);
	return 0;
}