字符串大师

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题意

一个串 $T$ 是 $S$ 的循环节，当且仅当存在正整数 $k$，使得 $S$ 是 $T^k$ （$T$ 重复 $k$ 次）的前缀。

给出字符串 $S$ 每个前缀的最短循环节，求出字典序最小的 $S$。

思路

记字符串 $S$ 的最短循环节为 $d$，有：

$$\text{len}(S)-\text{border}(S)=d$$

证明：

先证明引理：对于循环节 $d$ 有 $[1,\text{len}(S)-d]=[d,\text{len}(S)]$。

分类讨论，若循环节为完全循环，引理显然成立。

若循环节为不完全循环，记 $\text{len(S)}modd=p$，

则 $[d,\text{len}(S)]$ 缺失的 $p-d$ 个字符位于 $[\text{len}(S)-d+1,\text{len}(S)-p]$，

$[1,\text{len}(S)-d]$ 同时也缺失了这一部分的字符。综上，引理得证。

根据引理：对于循环节 $d$ 有 $[1,\text{len}(S)-d]=[d,\text{len}(S)]$，

再加上 $d$ 为最短循环节，所以 $[1,\text{len}(S)-d],[d,\text{len}(S)]$ 都是 $\text{border(S)}$，得证。

所以可以先用 $\text{len}(S)-d$ 算出 $\text{border}(S)$，再通过反向的 KMP 还原字符串。

考虑 KMP 求 $\text{border}$ 的过程：

首先令 $\text{border}(1)=0$。

对于 $i\in [2,n]$，

令 $t=\text{border}(i-1)$，重复 $t\leftarrow \text{border}(t)$ 直到 $t=0$ 或 $S_{t+1}=S_i$。

若最后 $t=0$ 则 $\text{border}(i)=0$，否则 $\text{border}(i)=t+1$。

反过来同理。

首先令 $S_1=A$，因为要满足字典序最小。

对于 $i\in [2,n]$，

令 $t=\text{border}(i-1)$，重复 $t\leftarrow \text{border}(t)$ 直到 $t=0$ 或 $t+1=\text{border}(i)$。

每次 $t\leftarrow \text{border}(t)$ 前，根据 KMP 求 $\text{border}$ 的过程可知，$S_{t+1}\ne S_i$。

若最后 $t\ne 0$，可知 $S_{t+1}=S_i$，直接赋值即可。

若 $t=0$，可通过上过程得到的若干组不等关系找出一个最小满足条件的 $S_i$。

时间复杂度：$O(n)$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;

int n, fail[N];
char s[N];
bool neq[30];

int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		cin >> fail[i];
		fail[i] = i - fail[i];
	}
	s[1] = 'a';
	for (int i = 2, t; i <= n; i ++) {
		memset(neq, 0, sizeof(neq));
		for (t = fail[i - 1]; fail[i] != t + 1; t = fail[t]) {
			neq[s[t + 1] - 'a'] = 1;
			if (!t) break;
		}		
		if (fail[i] == t + 1) s[i] = s[t + 1];
		else {
			for (char x = 'a'; x <= 'z'; x ++) {
				if (!neq[x - 'a']) {
					s[i] = x;
					break;
				}
			}
		}
	}
	puts(s + 1);
	return 0;
}