[JOI 2024 Final] 室温

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题意

给出一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，给出数 \(T\)。

可以进行若干次操作，每次操作可以任选数 \(a_i\)，将 \(a_i \leftarrow a_i - T\)。

可以选定一个数 \(t\)，使得操作完成后 \(\max |a_i-t|\) 最小 。

思路

首先进行操作等价于将 \(a_i \leftarrow a_i \bmod T\)。

然后考虑对于固定的序列 \(a\)，如何选定 \(t\) 使答案最小。

当 \(t = \frac{\min a_i + \max a_i}{2}\) 时，总答案最小。

因为当选定的 \(t = \min a_i\) 或 \(\max a_i\) 时，答案为 \(\max a_i - \min a_i\)。

当 \(t\) 往中间走的时候，答案会变小，最小时就是 \(t\) 取到中点时，答案为极差的一半。

如果除不尽怎么办呢？是向上取整还是向下取整？

应该是向上取整，因为除不尽时 \(t\) 一定往左或往右偏一点，较长的为答案，就是向上取整。

现在问题就变为了求出序列最小的极差，除以二向下取整就是答案。

首先想到将 \(a_i \bmod T\) 后排序，\(a_n-a_1\) 就是最小极差，但发现样例都不过。

发现问题：我可以将 \(a_1\) 到 \(a_i\) 的数少减一个 \(T\)，变为 \(a_1+T\) 到 \(a_i+T\)。

这样新的极差就变为了 \(a_i+T-a_{i+1}\)，枚举每个 \(i\) 取最小值即可。

注意原始的极差也要统计入答案。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 5e5 + 5;
int ans = 1e18, n, t, a[N];
signed main() {
	cin >> n >> t;
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		cin >> a[i], a[i] %= t; 
	sort(a + 1, a + n + 1);
	ans = (a[n] - a[1] + 1) / 2;
	for (int i = 1; i < n; i ++) 
		ans = min(ans, (a[i] + t - a[i + 1] + 1) / 2);
	cout << ans;
	return 0;
}