[JOI 2024 Final] 室温

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题意

给出一个长度为 $n$ 的序列 $a$，给出数 $T$。

可以进行若干次操作，每次操作可以任选数 $a_i$，将 $a_i\leftarrow a_i-T$。

可以选定一个数 $t$，使得操作完成后 $max|a_i-t|$ 最小 。

思路

首先进行操作等价于将 $a_i\leftarrow a_{i}modT$。

然后考虑对于固定的序列 $a$，如何选定 $t$ 使答案最小。

当 $t=\frac{min{a}_i+max{a}_i}{2}$ 时，总答案最小。

因为当选定的 $t=min{a}_i$ 或 $max{a}_i$ 时，答案为 $max{a}_i-min{a}_i$。

当 $t$ 往中间走的时候，答案会变小，最小时就是 $t$ 取到中点时，答案为极差的一半。

如果除不尽怎么办呢？是向上取整还是向下取整？

应该是向上取整，因为除不尽时 $t$ 一定往左或往右偏一点，较长的为答案，就是向上取整。

现在问题就变为了求出序列最小的极差，除以二向下取整就是答案。

首先想到将 $a_{i}modT$ 后排序，$a_n-a_1$ 就是最小极差，但发现样例都不过。

发现问题：我可以将 $a_1$ 到 $a_i$ 的数少减一个 $T$，变为 $a_1+T$ 到 $a_i+T$。

这样新的极差就变为了 $a_i+T-a_{i+1}$，枚举每个 $i$ 取最小值即可。

注意原始的极差也要统计入答案。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 5e5 + 5;
int ans = 1e18, n, t, a[N];
signed main() {
	cin >> n >> t;
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		cin >> a[i], a[i] %= t; 
	sort(a + 1, a + n + 1);
	ans = (a[n] - a[1] + 1) / 2;
	for (int i = 1; i < n; i ++) 
		ans = min(ans, (a[i] + t - a[i + 1] + 1) / 2);
	cout << ans;
	return 0;
}