[2023四校联考3]meirin

[2023四校联考3]meirin

题意

给出两个序列 $a,b$，$b$ 需要支持区间加。

每次修改完后求：

$$\sum _{l=1}^n\sum _{r=l}^n(\sum _{i=l}^r{a}_i)\times (\sum _{i=l}^r{b}_i)mod{10}^9+7$$

思路

发现 $a$ 没有修改，考虑把 $a$ 作为 $b$ 的系数单独计算。

把原式变为：

$$\sum _{i=1}^n{b}_i\times (\sum _{l=1}^i\sum _{r=i}^n\sum _{j=l}^r{a}_j)$$

注意 $l,r$ 必须把 $i$ 包含入内。

内层枚举可使用前缀和优化，令前缀和序列为 $A$。

$$\sum _{i=1}^n{b}_i\times (\sum _{l=1}^i\sum _{r=i}^n{A}_r-A_{l-1})$$

发现 $A_r$ 和 $A_{l-1}$ 只与 $l$ 和 $r$ 中的一个有关，考虑把求和拆成两部分：

$$\sum _{i=1}^n{b}_i\times (i\times \sum _{r=i}^n{A}_r-(n-i+1)\times \sum _{l=1}^i{a}_{l-1})$$

发现前半部分是前缀和的后缀和，后半部分是前缀和的前缀和。

预处理出来可以求出 $b_i$ 的系数。

初始不带修改的答案可以用：$\sum _{i=1}^n{b}_i\times k_i$ 求出。

考虑如何修改。

把 $[l,r]$ 增加 $v$ 时，对答案造成的贡献为：

$$\sum _{i=l}^{r}v\times k_i$$

$v$ 是常数，提出来后为：

$$v\times \sum _{i=l}^r{k}_i$$

求出 $k_i$ 的前缀和即可优化至每次 $O(1)$ 修改。

时间复杂度：$O(n+q)$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int N = 1e6 + 5;
const ll mod = 1e9 + 7;
int n, Q;
ll k[N], h[N], a[N], b[N], kk[N], ans, q[N];
int main() {
	freopen("meirin.in", "r", stdin);
	freopen("meirin.out", "w", stdout);
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin >> n >> Q;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		cin >> a[i];
		a[i] += a[i - 1], a[i] %= mod; 
	}
	for (int i = 1; i <= n; i ++) 
		cin >> b[i];
	for (int i = n; i >= 1; i --) 
		h[i] = h[i + 1] + a[i], h[i] %= mod;
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		q[i] = q[i - 1] + a[i], q[i] %= mod;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) 
		k[i] = -(n - i + 1) * q[i - 1] + h[i] * i, k[i] %= mod;
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		kk[i] = kk[i - 1] + k[i], kk[i] %= mod;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) 
		ans += b[i] * k[i], ans %= mod;
	while (Q --) {
		int l, r, v;
		cin >> l >> r >> v;
		ans += v * (kk[r] - kk[l - 1]);
		ans = (ans % mod + mod) % mod; 
		cout << ans << "\n";
	}
	return 0;
}