[NOIP 2024 模拟3]变幻

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题意

给出长度为 $n$ 的序列 $a$。可以进行 $k$ 次修改。

每次修改可以把一个数变得更小。求序列中山谷数之和的最大值。

思路

动态规划，定义 $d{p}_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数进行 $j$ 次修改的最大和。

因为连续两个点只可能有一个成为山谷数，所以 $i$ 从 $i-2$ 转移得到。

转移方程：

1. 继承 $d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,j}$。
2. 当前数为山谷数 $d{p}_{i,j}=d{p}_{i-2,j}$。
3. 当前数不为山谷数 $d{p}_{i,j}=d{p}_{i-2,j-1}+min\{a_{i-1},a_{i+1}\}-1$

从 $i=2$ 转移到 $i=n-1$，因为 $i=1$ 和 $i=n$ 没用。

答案为 $\underset{i=1}{\overset{j}{min}}d{p}_{n-1,i}$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll = long long;
const int N = 2e3 + 5;

int n, k, a[N];
ll dp[N][N], ans;

bool yes(int x) {
	if (x == 1 || x == n) {
		return 0;
	}
	return a[x] < a[x + 1] && a[x] < a[x - 1];
}

int main() {
	freopen("A.in", "r", stdin);
	freopen("A.out", "w", stdout);
	cin >> n >> k;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		cin >> a[i];
	}
	for (int i = 2; i < n; i ++) {
		for (int j = 0; j <= k; j ++) {
			dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			if (yes(i)) {
				dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 2][j] + a[i]);
			}
			if (j) {
				dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 2][j - 1] + min({a[i - 1], a[i + 1], a[i]}) - 1);
			}
		}
	}
	for (int i = 0; i <= k; i ++) {
		ans = max(ans, dp[n - 1][i]);
	}
	cout << ans << "\n";
	return 0;
}