[清华集训2012] 串珠子

[清华集训2012] 串珠子

题意

给定 $n$ 个点和 $n\times n$ 的矩阵 $c$。

有 $c_{i,j}$ 种方案把点 $i$ 和点 $j$ 连接起来。

求有多少种方案使得整张图连通。

思路

注意到 $1\le n\le 16$，考虑状压。

定义 $g_i$ 为集合 $i$ 的连边方案数，有

$$g_i=\prod _{u,v\in i}(c_{u,v}+1)$$

即 $(u,v)$ 有 $c_{i,j}$ 种方案连，有一种方案不连。

定义 $f_i$ 为集合 $i$ 连通时的方案数，有

$$f_i=g_i-\sum _{j\subset i}{g}_j\times f_{Cj}$$

其中 $C$ 是补集符号。

即枚举不连通的情况减去，枚举不连通的子集，

不连通子集连边的方案数乘上补集连通的方案数就是总方案数。

实现时注意固定 $i$ 中的一个数和自己连通，其他点要么和他连通，要么不和他连通，这样才能不重不漏。

这里解释一下为什么是 $g_i\times f_{Cj}$ 而不是 $g_i\times g_{Cj}$ 或 $f_i\times g_{Cj}$。

这个转移方程本质上是把图分成两个互不连通的部分，

如果转移方程是第二种，就会出现重复，如下图。

这两种图本质相同，但由于没有限制一部分必须连通，就会被统计两遍。

所以必须限制一部分连通才能不重复。

因为我们固定了一个点和自己连通，如果交换 $f$ 和 $g$ 后变成了自己和自己不连通，显然不成立。

答案为 $f_{2^n-1}$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 20;
int n, c[N][N];
ll f[1 << N], g[1 << N];
const int mod = 1e9 + 7;
int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i ++) 
		for (int j = 0; j < n; j ++) 
			cin >> c[i][j];
	for (int i = 0; i < (1 << n); i ++) {
		g[i] = 1;
		for (int j = 0; j < n; j ++)
			if (i >> j & 1) for (int k = j + 1; k < n; k ++)
				if (i >> k & 1) 
					g[i] = g[i] * (c[j][k] + 1) % mod;
	}
	for (int i = 0; i < (1 << n); i ++) {
		int I = i ^ (i & (-i));
		f[i] = g[i];
		for (int j = I; j; j = (j - 1) & I) {
			f[i] = f[i] - g[j] * f[i ^ j];
			f[i] = (f[i] % mod + mod) % mod;
		}
	}
	cout << f[(1 << n) - 1] << "\n";
	return 0;
}