找朋友2

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题意

给出 $n$ 个数，要求每连续 $m$ 选出至少两个数，求出选出数和的最小值。

思路

定义 $d{p}_{i,j}$ 表示考虑前 $i$ 个人，第 $i$ 个人和第 $i-j$ 个人必选的和的最小值。

$$d{p}_{i,j}=\underset{j+k\le m}{min}\{d{p}_{i-j,k}\}+a_i$$

若 $j+k>m$，$[i-m+1,i]$ 这个区间就只选了一个数，不合法。

时间复杂度：$O(n{m}^2)$，空间复杂度：$O(nm)$，均不能通过，考虑优化。

发现 $min$ 中的方程是前缀最小值的形式，转移时维护一下。

发现当前有用的状态只有 $[i,i-m+1]$ 这 $m$ 个，只用开一个 $O(m^2)$ 的数组，将下标 $modm$ 即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e4 + 5;
const int M = 2e3 + 5;
int n, m, a[N], dp[M][M], Min[M][M], ans;
void solve() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
	for (int j = 0; j <= m; j ++) {
		dp[0][j] = Min[0][j] = 0; 
	}
	for (int i = 1; i <= m; i ++) {
		for (int j = 0; j <= m; j ++)
			dp[i][j] = Min[i][j] = 0x3f3f3f3f;
	}
//	memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
//	memset(Min, 0x3f, sizeof(Min));
	ans = 0x3f3f3f3f;
//	memset(dp[0], 0, sizeof(dp[0]));
//	memset(Min[0], 0, sizeof(Min[0]));
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		int now = i % m;
		for (int j = 0; j <= m; j ++)
			Min[now][j] = 0x3f3f3f3f, dp[now][j] = 0x3f3f3f3f;
		for (int j = 1; j <= min(i, m); j ++) {
//			int Min = 0x3f3f3f3f;
//			for (int k = 1; k <= m - j; k ++) {
//				Min = min(Min, dp[i - j][k]);
//			}
//			dp[i][j] = Min + a[i];
			int pre = (i - j + m) % m;
			dp[now][j] = Min[pre][m - j] + a[i];
			Min[now][j] = min(Min[now][j - 1], dp[now][j]);
			if (i >= n - m + 1 + j) 
				ans = min(ans, dp[now][j]);
//			cout << i << " " << j << " " << dp[i][j] << "\n";
		}
		for (int j = 1; j <= m; j ++)
			Min[now][j] = min(Min[now][j], Min[now][j - 1]);
	}
	cout << ans << "\n";
}
int main() {
	freopen("gaoj.in", "r", stdin);
	freopen("gaoj.out", "w", stdout);
	int Case;
	cin >> Case;
	while (Case --)
		solve();
	return 0;
}