[SCOI2009] 迷路

[SCOI2009] 迷路

题意

给出一张带权有向图，从 \(1\) 号点出发，必须在恰好 \(t\) 时刻到达 \(n\)。

中途不能停留，求有多少种方案。

思路

先考虑边权为 \(1\) 的情况，设 \(f_{t,i,j}\) 为从 \(i\) 走到 \(j\) 花费 \(t\) 个时刻的方案数。

\(f_{t,i,j}=\sum{f_{t-1,i,k} \times f_{t-1,k,j}}\)，注意到这就是矩阵乘法的形式，又注意到 \(f_1\) 就是邻接矩阵。

所以 \(f_1^t\) 就是最终矩阵，答案即 \(f_{1,1,n}^{t}\)。

再考虑边权不为 \(1\) 的情况，如何把边权为 \(w\) 的边转化为边权为 \(1\) 的边。

考虑把一个点 \(i\) 拆成 \(10\) 个点 \((i,0),(i,1),\dots,(i,9)\)。

将 \((i,j)\) 向 \((i,j-1)\) 连一条边权为 \(1\) 的边。

如果点 \(i\) 与点 \(j\) 之间有一条边权为 \(w\) 的边，将 \((i,0)\) 向 \((j,w-1)\) 连一条边权为 \(1\) 的边。

因为只有 \((i,0)\) 有出边，\((i,k)\) 想要出去必须先花费 \(k\) 的时间走到 \((i,0)\)。

这样保证了 \((i,0)\) 到 \((j,0)\) 必定花费 \(1+(w-1)=w\) 的时间，与原图等价。

这样我们就把原图转化为了边权为 \(1\) 的图，用邻接矩阵快速幂就能求出答案。

时间复杂度：\(O(n^3)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105;
const int M = 2009;
int n, t, cnt, f[N][N], id[N][N];
char str[N];
struct Matrix {
	int h, l, a[N][N];
	void init(int H, int L, bool f) {
		h = H, l = L;
		for (int i = 1; i <= h; i ++)
			for (int j = 1; j <= l; j ++) {
				if (!f) a[i][j] = 0;
				else if (i == j) a[i][j] = 1;
			}
	}
	Matrix operator * (const Matrix& b)const{
		Matrix ret;
		ret.init(h, b.l, 0);
		for (int i = 1; i <= h; i ++)
			for (int j = 1; j <= b.l; j ++) 
				for (int k = 1; k <= l; k ++)
					ret.a[i][j] += a[i][k] * b.a[k][j],
					ret.a[i][j] %= M;
		return ret;
	}
	void input() {
		for (int i = 1; i <= h; i ++)
			for (int j = 1; j <= l; j ++)
				cin >> a[i][j];
	}
	void output() {
		for (int i = 1; i <= h; i ++) {
			for (int j = 1; j <= l; j ++)
				cout << a[i][j] << ' ';
			cout << '\n';
		}
	}
} A, B;
Matrix qpow(Matrix a, int p) {
	Matrix ret;
	ret.init(a.h, a.l, 1);
	for (; p; p >>= 1, a = a * a)
		if (p & 1) ret = ret * a;
	return ret;
}
int main() { 
	scanf("%d%d", &n, &t);
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		for (int j = 0; j <= 9; j ++) {
			id[i][j] = ++ cnt;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		scanf("%s", str + 1);
		for (int j = 1; j <= n; j ++) {
			if (str[j] == '0') continue;
			int w = str[j] - '0';
			f[id[i][0]][id[j][w - 1]] = 1;		
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i ++) 
		for (int j = 1; j <= 9; j ++) 
			f[id[i][j]][id[i][j - 1]] = 1;
	A.h = A.l = cnt;
	for (int i = 1; i <= cnt; i ++)
		for (int j = 1; j <= cnt; j ++)
			A.a[i][j] = f[i][j];
	A = qpow(A, t);
	printf("%d\n", A.a[id[1][0]][id[n][0]]);
 	return 0;
}