[NOIP 2024 模拟2]表

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题意

给定质数 \(P\)。数 \(x\) 可以花费 \(|x-y|\) 的代价变为 \(xy \bmod P\)，对于每对 \((a,b)\)，求 \(a\) 变成 \(b\) 的最小代价。

思路

70 pts

暴力建图跑 Floyd，时间复杂度 \(O(P^3)\)。

100 pts

通过 70 pts 代码打表发现，答案不超过 \(17\)，将 \(x\) 向 \([x-17,x+17]\) 连边，跑 Dijkstra 即可。

时间复杂度 \(O(P^2\log P)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int N = 2005;
const int mod = 998244353;
int f[N][N], P, t;
vector <pii> E[N];
struct node {int id, dis;};
bool operator < (node a, node b) {
	return a.dis > b.dis;
}
priority_queue <node> q;
bool vis[N];
void spfa(int s) {
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	f[s][s] = 0;
	q.push({s, 0});
	while (!q.empty()) {
		int x = q.top().id; q.pop();
		if (vis[x]) continue;
		vis[x] = 1;
		for (auto y : E[x]) {
			if (f[s][y.fi] > f[s][x] + y.se) {
				f[s][y.fi] = f[s][x] + y.se;
				q.push({y.fi, f[s][y.fi]});
			}
		}
	}
}
signed main() {
	freopen("newb.in", "r", stdin);	
	freopen("newb.out", "w", stdout);
	scanf("%d%d", &P, &t);
	memset(f, 0x3f, sizeof(f));
	for (int i = 1; i < P; i ++) 
		for (int j = max(1, i - 20); j <= min(P - 1, i + 20); j ++)
			E[i].push_back({i * j % P, abs(i - j)});
	for (int i = 1; i < P; i ++) spfa(i);
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i < P; i ++) 
		for (int j = 1; j < P; j ++) {
			int res = 1, a = t, b = (i - 1) * (P - 1) + j - 1;
			for (; b; b >>= 1, a = 1ll * a * a % mod) 
				if (b & 1) res = 1ll * res * a % mod;
			ans = (ans + 1ll * f[i][j] * res % mod) % mod;
		}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}