洛谷 P4819 杀人游戏

洛谷 P4819 杀人游戏

题意

有 $n$ 个人，他们之中有一个杀手。

每个人都有可能是杀手，并且概率相等。

你可以询问若干人。

若询问的人是杀手，你会被干掉。

若询问的人是平民，你会知道他认识的所有人的身份。

给出一张有向图表示这 $n$ 个人的关系。

求出你活着知道杀手是谁的概率。

思路

先将原图强连通分量缩点，每个点内的人都互相认识。

形成一张 DAG 后，我们只需要问那些入度为 $0$ 的点。

问了他们之后，他们后面的点的身份都已知道，不会再有被杀死的风险。

所以概率为 $1-\frac{k}{n}$，$k$ 为入度为 $0$ 的点的个数，表示问这 $k$ 个入度为 $0$ 的点都问不到杀手的概率。

但这还不全对。

如果存在一个点大小为 $1$，并且所有出边连的点入度都大于 $1$，答案可变为 $1-\frac{k-1}{n}$。

因为如果存在这样的点，问过其他点后，他的所有出边连的点身份都清楚了。

如果有杀手，就不用问他了。

如果没有杀手，因为大小为 $1$，所以杀手就是他，也不用问他了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 5;
int tot, ver[N << 1], nxt[N << 1], head[N];
int n, m, dfn[N], low[N], in[N];
int cnt, sc, scc[N], stk[N], siz[N], top;
bool instk[N];
vector <int> E[N];
void add(int x, int y) {
	ver[++ tot] = y;
	nxt[tot] = head[x];
	head[x] = tot;
}
void tarjan(int x) {
	low[x] = dfn[x] = ++ cnt;
	stk[++ top] = x; instk[x] = 1;
	for (int i = head[x], y; i; i = nxt[i]) {
		y = ver[i]; 
		if (!dfn[y]) {
			tarjan(y);
			low[x] = min(low[x], low[y]);
		} else if (instk[y])
			low[x] = min(low[x], dfn[y]);
	}
	if (low[x] == dfn[x]) {
		sc ++;
		while (top && stk[top] != x) {
			scc[stk[top]] = sc;
			instk[stk[top]] = 0;
			siz[sc] ++;
			top --;
		}
		scc[stk[top]] = sc;
		instk[stk[top]] = 0;
		siz[sc] ++;
		top --;
	}
}
int main() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1, u, v; i <= m; i ++) {
		cin >> u >> v;
		add(u, v);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		if (dfn[i]) continue;
		tarjan(i);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i ++) 
		for (int j = head[i]; j; j = nxt[j]) 
			if (scc[i] != scc[ver[j]]) {
				in[scc[ver[j]]] ++;
				E[scc[i]].push_back(scc[ver[j]]);
			}
				
	double ans = 1, N = n;
	int c = 0;
	bool flg = 0;
	for (int i = 1; i <= sc; i ++) {
		if (in[i]) continue;
		c ++;
		if (siz[c] > 1) continue;
		if (flg) continue;
		bool ok = 1;
		for (auto v : E[i]) 
			if (in[v] <= 1) ok = 0;
		if (ok) c --, flg = 1;
	}
	ans = 1.0 - 1.0 * c / N;
	cout << fixed << setprecision(6) << ans << "\n";
	return 0;
}