树状数组学习笔记

树状数组学习笔记

简介

树状数组是一个可以在 $O(\log n)$ 的时间复杂度内支持单点修改和查询前缀和的操作的数据结构。

原理

观察发现线段树中有很多的冗余的部分。

红色部分为冗余部分。

把冗余部分去掉。

把每个节点编个号。

把每个节点的子节点个数和父结点编号列表出来。

1	2	3	4	5	6	7	8
1	2	1	4	1	2	1	8
2	4	4	8	6	8	8	\

这个表有什么规律呢？

$\text{lowbit}$

$\text{lowbit}$ 是指一个数在二进制下最末尾的1的位置。
$\text{lowbit(x) = x and -x}$

观察发现，编号为 $i$ 的节点的子节点个数为 $\text{lowbit}(i)$，父结点编号为 $i+\text{lowbit}(i)$。

每个点存储和就好了，比如点4存储$[1,4]$的和，点6存储$[5,6]$的和。

写法

修改

把点$i$的所有祖先节点加上修改的数。

查询

如果要查询$[l,r]$的和，就可以用$r$的前缀和减去$l-1$的前缀和。

如何求前缀和呢？

节点 $i$ 的儿子其实就是 $i-\text{lowbit}(i)$，从$i$开始往下，一直到儿子为0停止，把中间的节点的和加起来。

比如要求$[1,3]$，从$3$开始，把$[3,3]$加上，然后跳到$3-\text{lowbit(3)}=2$，然后把$[1,2]$加上，最后跳到$2-\text{lowbit(2)}=0$，结束。

具体实现看代码。

代码

int val[MAXN];
void change(int x,int data){//修改&建立
    for(int i=x;i<=MAXN;i+=lowbit(i))val[i]+=data;
}
int ask(int x){//前缀和
    int ans=0;
    for(int i=x;i!=0;i-=lowbit(i))ans+=val[i];
    return ans;
}
int ask(int l,int r){//查询
    return ask(r)-ask(l-1);
}

二维树状数组

可以求出二维数组里的前缀和，时间复杂度$O({\log }^{2}n)$。

与一维树状数组相似。

int val[MAXN][MAXN];
void change(int x,int y,int data){//修改&建立
    for(int i=x;i<=MAXN;i+=lowbit(i))
    for(int j=y;j<=MAXN;j+=lowbit(j))
    val[i][j]+=data;
}
int ask(int x,int y){//前缀和
    int ans=0;
    for(int i=x;i!=0;i-=lowbit(i))
    for(int j=y;j!=0;j-=lowbit(j))    
    ans+=val[i][j];
    return ans;
}
int ask(int x1,int y1,int x2,int y2){//查询
    return ask(x2,y2)-ask(x2,y1-1)-ask(x1-1,y2)+ask(x1-1,y1-1);
}