一元二次方程

一元二次方程

简介

一元二次方程是通过化简后只含有一个未知数，并且含未知数的最高次数是2的整式方程。

一元二次方程可以化简为：

$$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$$

解法

$$a{x}^2+bx+c=0$$

1.移项

将常数项 $c$ 移动至等号右侧：

$$a{x}^2+bx=-c$$

2.化二次项系数为1

所有项同时除以 $a$ ，使得二次项的系数变为 $1$ ：

$$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3.配方

平方和公式

$$(a+b{)}^2=a^2+b^2+2ab$$

$$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$$

配方

在等号两边同时加上 $(\frac{b}{2a}{)}^2$

$$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a}{)}^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a}{)}^2$$

根据平方和公式

$$(x+\frac{b}{2a}{)}^2-2x\frac{b}{2a}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a}{)}^2$$

约分得：

$$(x+\frac{b}{2a}{)}^2-\frac{b}{a}x+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a}{)}^2$$

$$(x+\frac{b}{2a}{)}^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a}{)}^2$$

4.化简

化简得：

$$(x+\frac{b}{2a}{)}^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$$

通分得：

$$(x+\frac{b}{2a}{)}^2=-\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}$$

$$(x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{-4ac+b^2}{4a^2}$$

开平方：

$$x+\frac{b}{2a}=\sqrt{\frac{-4ac+b^2}{4a^2}}$$

移项得：

$$x=\sqrt{\frac{-4ac+b^2}{4a^2}}-\frac{b}{2a}$$

5.求解

$$\because a\ne 0$$

$$\therefore a^2>0$$

$$\therefore 4a^2>0$$

所以只用判断 $-4ac+b^2$ 的符号，分类讨论。

(1)

$$-4ac+b^2>0$$

该方程有两个不等的实根：

$$x_1=\sqrt{\frac{-4ac+b^2}{4a^2}}-\frac{b}{2a}$$

$$x_2=-\sqrt{\frac{-4ac+b^2}{4a^2}}-\frac{b}{2a}$$

$$x=\pm \sqrt{\frac{-4ac+b^2}{4a^2}}-\frac{b}{2a}$$

(2)

$$-4ac+b^2=0$$

该方程有两个相等的实数根：

$$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$$

$$x=-\frac{b}{2a}$$

(3)

$$-4ac+b^2<0$$

此时由 $(x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{-4ac+b^2}{4a^2}$ 可知， $x$ 取任何实数都不能使 $(x+\frac{b}{2a}{)}^2<0$ 。

所以此时，该方程无实数根。

综上所述

当 $-4ac+b^2\ge 0$ 时，$x=\pm \sqrt{\frac{-4ac+b^2}{4a^2}}-\frac{b}{2a}$ ，化简可得 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 。

当 $-4ac+b^2<0$ 时，该方程无实数根。