一元二次方程

一元二次方程

简介

一元二次方程是通过化简后只含有一个未知数，并且含未知数的最高次数是2的整式方程。

一元二次方程可以化简为：

\[ax^2+bx+c=0 (a \ne 0) \]

解法

\[ax^2+bx+c=0 \]

1.移项

将常数项 \(c\) 移动至等号右侧：

\[ax^2+bx=-c \]

2.化二次项系数为1

所有项同时除以 \(a\) ，使得二次项的系数变为 \(1\) ：

\[x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \]

3.配方

平方和公式

\[(a+b)^2=a^2+b^2+2ab \]

\[a^2+b^2=(a+b)^2-2ab \]

配方

在等号两边同时加上 \((\frac{b}{2a})^2\)

\[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2 \]

根据平方和公式

\[(x+\frac{b}{2a})^2-2x\frac{b}{2a}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2 \]

约分得：

\[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b}{a}x+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2 \]

\[(x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2 \]

4.化简

化简得：

\[(x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2} \]

通分得：

\[(x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2} \]

\[(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{-4ac+b^2}{4a^2} \]

开平方：

\[x+\frac{b}{2a}=\sqrt \frac{-4ac+b^2}{4a^2} \]

移项得：

\[x=\sqrt \frac{-4ac+b^2}{4a^2}-\frac{b}{2a} \]

5.求解

\[\because a \ne 0 \]

\[\therefore a^2>0 \]

\[\therefore 4a^2>0 \]

所以只用判断 \(-4ac+b^2\) 的符号，分类讨论。

(1)

\[-4ac+b^2>0 \]

该方程有两个不等的实根：

\[x_1=\sqrt \frac{-4ac+b^2}{4a^2}-\frac{b}{2a} \]

\[x_2=-\sqrt \frac{-4ac+b^2}{4a^2}-\frac{b}{2a} \]

\[x=\pm\sqrt \frac{-4ac+b^2}{4a^2}-\frac{b}{2a} \]

(2)

\[-4ac+b^2=0 \]

该方程有两个相等的实数根：

\[x_1=x_2=-\frac{b}{2a} \]

\[x=-\frac{b}{2a} \]

(3)

\[-4ac+b^2<0 \]

此时由 \((x+\frac{b}{2a})^2=\frac{-4ac+b^2}{4a^2}\) 可知， \(x\) 取任何实数都不能使 \((x+\frac{b}{2a})^2 < 0\) 。

所以此时，该方程无实数根。

综上所述

当 \(-4ac+b^2 \ge 0\) 时，\(x=\pm\sqrt \frac{-4ac+b^2}{4a^2}-\frac{b}{2a}\) ，化简可得 \(x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\) 。

当 \(-4ac+b^2 < 0\) 时，该方程无实数根。