tarjan算法求割点与桥

\(tarjan\)求割点和桥

\(tarjan\)算法

\(tarjan\)算法是一个图论算法，它可以求割点，桥，双连通分量，强连通分量等东西。

\(tarjan\)算法求割点

思路

\(tarjan\)算法的思路是先通过\(dfs\)的方式把图建成一棵树，原来的便就分成了在树上的树边和不在树上的虚边，如下图：

这个图通过\(dfs\)建树后就变成了这样：

其中蓝色的为虚边，红色的为树边。
现在建好了树，就要引入两个概念：\(dfn\)和\(low\)。
\(dfn[x]\)表示编号为\(x\)的点的\(dfs\)序。上面那张图的点的\(dfn\)如下图：

绿色的字为\(dfn\)。
\(low[x]\)表示编号为\(x\)的点能到达的最远祖先（可以走虚边），下面是一张图的\(low\)值：

如\(2\)这个点，它可以往下走到\(4\)再通过一条虚边回到\(0\)，但\(3\)没有其他边，所以只能为自己。

搞清楚了\(dfn\)和\(low\)两个概念割点就很好求了。
每个割点\(x\)都满足：

\[low[y] \geq dfn[x] \]

其中\(y\)为\(x\)的子节点。只要有一个子节点满足要求，\(x\)就是割点。
为什么呢？举个例子：
还是上面那张图：

如\(2\)的子节点\(3\)的\(low\)值为\(3\),而\(2\)的\(dfn\)值为\(2\)，根据\(low\)的定义，\(3\)没有其他边能够到达比\(2\)的\(dfn\)更小的节点（祖先节点），所以\(2\)如果而被删除，\(3\)就不连通了。\(2\)就是割点。
但如果我们不看\(3\)，\(2\)就不是割点了，因为它的子节点\(4\)有一条虚边连向\(0\) \((low[y]>dfn[x])\)，如果\(2\)被删除了，\(4\)依然可以通过那条虚边连向\(0\)，所以\(2\)不是割点。

特殊情况：
如果一个节点为根，那么只要它有两棵子树，它就是割点。

代码实现

整个\(tarjan\)算法可以通过一个\(dfs\)来实现，\(dfs\)途中统计\(dfn\)和\(low\)，然后再判断子节点的\(low\)是不是大于等于当前节点的\(dfn\)就能求出割点了。

void tarjan(int x,bool root){//x:当前节点,root:是不是根
	cnt++;
	dfn[x]=cnt;//当前dfn
	low[x]=dfn[x];//low的初始值等于dfn
	int num=0;//字数个数,用于统计特殊情况
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		int v=ver[i];
		if(!dfn[v]){//没被访问过,树边
			fa[v]=x;//统计父节点
			tarjan(v,false);//dfs
			low[x]=min(low[x],low[v]);//统计low值
			if(!root&&low[v]>=dfn[x])//不是根且满足条件
				isg[x]=true;//时割点
			if(root)//是根
				num++;//统计子树
		}else if(v!=fa[x])//不是父节点,被访问过,虚边
			low[x]=min(low[x],dfn[v]);//统计low值
	}
	if(root&&num>1)//是根且满足条件
		isg[x]=true;//是割点
}

\(tarjan\)算法求桥

思路

和求割点类似，也需要求出\(low\)和\(dfn\)，但条件不一样：

\[low[y]>dfn[x] \]

举个例子：

其中\(2->4\)是一座桥。因为\(2\)的\(dfn\)值为\(2\)，\(4\)的\(low\)值为4，\(low[4]>dfn[2]\)，所以\(2->4\)去掉后\(4\)的子树将无法通过任何边到\(2\)了。
但\(4->5\)却不是，因为\(low[5]=dfn[4]\)去掉\(4->5\)后\(5\)还可以通过虚边到达\(4\)。
桥没有特殊情况。

代码实现

和割点类似，只是条件变了变。

void tarjan(int x){
	cnt++;
	dfn[x]=cnt;//dfn
	low[x]=dfn[x];//low
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		int v=ver[i];
		if(!dfn[v]){//树边
			fa[v]=x;//统计父节点
			tarjan(v);
			low[x]=min(low[x],low[v]);//low
			if(low[v]>dfn[x])//条件
				ans.push_back(make_pair(x,v));//统计答案
		}else if(v!=fa[x])//不是父节点,被访问过,虚边
			low[x]=min(low[x],dfn[v]);//low
	}
}