tarjan算法求割点与桥

$tarjan$求割点和桥

$tarjan$算法

$tarjan$算法是一个图论算法，它可以求割点，桥，双连通分量，强连通分量等东西。

$tarjan$算法求割点

思路

$tarjan$算法的思路是先通过$dfs$的方式把图建成一棵树，原来的便就分成了在树上的树边和不在树上的虚边，如下图：

这个图通过$dfs$建树后就变成了这样：

其中蓝色的为虚边，红色的为树边。
现在建好了树，就要引入两个概念：$dfn$和$low$。
$dfn[x]$表示编号为$x$的点的$dfs$序。上面那张图的点的$dfn$如下图：

绿色的字为$dfn$。
$low[x]$表示编号为$x$的点能到达的最远祖先（可以走虚边），下面是一张图的$low$值：

如$2$这个点，它可以往下走到$4$再通过一条虚边回到$0$，但$3$没有其他边，所以只能为自己。

搞清楚了$dfn$和$low$两个概念割点就很好求了。
每个割点$x$都满足：

$$low[y]\ge dfn[x]$$

其中$y$为$x$的子节点。只要有一个子节点满足要求，$x$就是割点。
为什么呢？举个例子：
还是上面那张图：

如$2$的子节点$3$的$low$值为$3$,而$2$的$dfn$值为$2$，根据$low$的定义，$3$没有其他边能够到达比$2$的$dfn$更小的节点（祖先节点），所以$2$如果而被删除，$3$就不连通了。$2$就是割点。
但如果我们不看$3$，$2$就不是割点了，因为它的子节点$4$有一条虚边连向$0$ $(low[y]>dfn[x])$，如果$2$被删除了，$4$依然可以通过那条虚边连向$0$，所以$2$不是割点。

特殊情况：
如果一个节点为根，那么只要它有两棵子树，它就是割点。

代码实现

整个$tarjan$算法可以通过一个$dfs$来实现，$dfs$途中统计$dfn$和$low$，然后再判断子节点的$low$是不是大于等于当前节点的$dfn$就能求出割点了。

void tarjan(int x,bool root){//x:当前节点,root:是不是根
	cnt++;
	dfn[x]=cnt;//当前dfn
	low[x]=dfn[x];//low的初始值等于dfn
	int num=0;//字数个数,用于统计特殊情况
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		int v=ver[i];
		if(!dfn[v]){//没被访问过,树边
			fa[v]=x;//统计父节点
			tarjan(v,false);//dfs
			low[x]=min(low[x],low[v]);//统计low值
			if(!root&&low[v]>=dfn[x])//不是根且满足条件
				isg[x]=true;//时割点
			if(root)//是根
				num++;//统计子树
		}else if(v!=fa[x])//不是父节点,被访问过,虚边
			low[x]=min(low[x],dfn[v]);//统计low值
	}
	if(root&&num>1)//是根且满足条件
		isg[x]=true;//是割点
}

$tarjan$算法求桥

思路

和求割点类似，也需要求出$low$和$dfn$，但条件不一样：

$$low[y]>dfn[x]$$

举个例子：

其中$2->4$是一座桥。因为$2$的$dfn$值为$2$，$4$的$low$值为4，$low[4]>dfn[2]$，所以$2->4$去掉后$4$的子树将无法通过任何边到$2$了。
但$4->5$却不是，因为$low[5]=dfn[4]$去掉$4->5$后$5$还可以通过虚边到达$4$。
桥没有特殊情况。

代码实现

和割点类似，只是条件变了变。

void tarjan(int x){
	cnt++;
	dfn[x]=cnt;//dfn
	low[x]=dfn[x];//low
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		int v=ver[i];
		if(!dfn[v]){//树边
			fa[v]=x;//统计父节点
			tarjan(v);
			low[x]=min(low[x],low[v]);//low
			if(low[v]>dfn[x])//条件
				ans.push_back(make_pair(x,v));//统计答案
		}else if(v!=fa[x])//不是父节点,被访问过,虚边
			low[x]=min(low[x],dfn[v]);//low
	}
}