最近公共祖先(LCA)(RMQ)

【模板】最近公共祖先（LCA）(RMQ)

题目描述

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入格式

第一行包含三个正整数 $N,M,S$，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来 $N-1$ 行每行包含两个正整数 $x,y$，表示 $x$ 结点和 $y$ 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。

接下来 $M$ 行每行包含两个正整数 $a,b$，表示询问 $a$ 结点和 $b$ 结点的最近公共祖先。

输出格式

输出包含 $M$ 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5

样例输出 #1

4
4
1
4
4

提示

对于 $30\mathrm{\%}$ 的数据，$N\le 10$，$M\le 10$。

对于 $70\mathrm{\%}$ 的数据，$N\le 10000$，$M\le 10000$。

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$N\le 500000$，$M\le 500000$。

样例说明：

该树结构如下：

第一次询问：$2,4$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

第二次询问：$3,2$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

第三次询问：$3,5$ 的最近公共祖先，故为 $1$。

第四次询问：$1,2$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

第五次询问：$4,5$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

故输出依次为 $4,4,1,4,4$。

思路

我们已经学会了$LCA$的倍增祖先方法，我们再来学一个时间复杂度更低的算法:$RMQ$($RangeMinimum/MaximumQuery$)(区间最值算法)它能解决一个区间内的最值问题。它的预处理时间复杂度为为$O(nlo{g}_{2}n)$查询时间复杂度为$O(1)$。它是用$ST$表实现的，我在这篇博客里讲过$ST$表的模板。但$RMQ$是需要一个序列的，而$LCA$是树上问题所以我们要把树转换成一个数列。怎么转化呢？

欧拉序

上面这棵树的欧拉序是$1,2,4,2,5,2,1,3,6,3,7,3,1$。其实这就是$dfs$序的变化，$dfs$序是:$1,2,4,5,3,6,7$，欧拉序就是每次回溯的时候再把这个节点输出一遍。

初始化

我们已经把一颗树变成了数列，然后就是$ST$表的初始化了。
定义:数组$f[i][j]$表示第$i$个数往后$2^j$个数里的深度最小的数，状态转移方程为：

if(de[f[i][j-1]]<de[f[i+2^{j-1}][j-1]])f[i][j]=f[i][j-1]//de[i]表示i的深度
else f[i][j]=f[i+2^{j-1}][j-1]

查询

如果要查$x$和$y$的最近公共祖先，就现需要查区间$[x,y]$里的深度最小的数。查询代码：

int l=first[x],r=first[y];//first[i]表示i第一次在欧拉序里出现的位置
if(r<l)swap(l,r);
int k=log2(r-l+1);
return (de[f[l][k]]<de[f[r-(1<<k)+1][k]])?f[l][k]:f[r-(1<<k)+1][k];

完整代码:

提示：数组开大点，欧拉序很长。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#define MAXN (5000000+100)
int ver[MAXN*2],next[MAXN*2],head[MAXN*2],bdfs[MAXN*5],de[MAXN],first[MAXN],f[MAXN][100],tot,n,m,s,cnt;
void add(int x,int y){
	ver[++tot]=y;
	next[tot]=head[x];
	head[x]=tot;
}
void swap(int& a,int& b){
	int temp=a;
	a=b;
	b=temp;
}
void dfs(int i,int father,int depth){//dfs求欧拉序和深度
	bdfs[++cnt]=i;
	de[i]=depth;
	if(!first[i])first[i]=cnt;
	for(int j=head[i];j;j=next[j]){
		if(ver[j]!=father){
			dfs(ver[j],i,depth+1);
			bdfs[++cnt]=i;
		}
	}
}
void init_st(){//初始化st表
	for(int i=cnt;i>=1;i--){
		f[i][0]=bdfs[i];
		for(int j=1;j<20;j++){
			if((i+(1<<(j-1)))>cnt){break;}
			f[i][j]=de[f[i][j-1]]<de[f[i+(1<<(j-1))][j-1]]?f[i][j-1]:f[i+(1<<(j-1))][j-1];//状态转移方程
		}
	} 
}
int getlca(int x,int y){//查询
	int l=first[x],r=first[y];
	if(r<l)swap(l,r);
	int k=log2(r-l+1);
	return (de[f[l][k]]<de[f[r-(1<<k)+1][k]])?f[l][k]:f[r-(1<<k)+1][k];
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
	for(int i=1;i<=n-1;i++){
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		add(u,v);
		add(v,u);
	}
	dfs(s,0,1);
	init_st();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		printf("%d\n",getlca(x,y));
	}
	return 0;
}