ST 表

【模板】ST 表

题目背景

这是一道 ST 表经典题——静态区间最大值

题目描述

给定一个长度为 \(N\) 的数列，和 $ M $ 次询问，求出每一次询问的区间内数字的最大值。

输入格式

第一行包含两个整数 \(N,M\)，分别表示数列的长度和询问的个数。

第二行包含 \(N\) 个整数（记为 \(a_i\)），依次表示数列的第 \(i\) 项。

接下来 \(M\) 行，每行包含两个整数 \(l_i,r_i\)，表示查询的区间为 \([l_i,r_i]\)。

输出格式

输出包含 \(M\) 行，每行一个整数，依次表示每一次询问的结果。

样例 #1

样例输入 #1

8 8
9 3 1 7 5 6 0 8
1 6
1 5
2 7
2 6
1 8
4 8
3 7
1 8

样例输出 #1

9
9
7
7
9
8
7
9

提示

对于 \(30\%\) 的数据，满足 \(1\le N,M\le 10\)。

对于 \(70\%\) 的数据，满足 \(1\le N,M\le {10}^5\)。

对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(1\le N\le {10}^5\)，\(1\le M\le 2\times{10}^6\)，\(a_i\in[0,{10}^9]\)，\(1\le l_i\le r_i\le N\)。

思路

使用ST表：

简介

ST表是一种可进行快速的区间查询的数据结构。他的预处理复杂度为\(O (nlog_2n)\),查询复杂度为\(O(1)\)。
ST表能解决可重复贡献问题，即某段区间被重复计算不会影响结果。

初始化:

定义:数组\(f[i][j]\)表示第\(i\)个数往后\(2^j\)个数里的最大值，状态转移方程为\(f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^{j-1}][j-1])\)。

使用：

如果要查询\([l,r]\)内的最大值，设\(k=log_2(r-l+1)\)那么\(ans=max(f[l][l+2^k],f[r-2^k+1,k])\)。

代码:

#include<cstdio>
#include<cmath>
int f[100001][21],a[100001];
int main(){
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		f[i][0]=a[i];
	}
	for(int i=n;i>=1;i--){
		for(int j=1;j<20;j++){
		if((i+(1<<(j-1)))>n)continue;
			f[i][j]=f[i][j-1]>f[i+(1<<(j-1))][j-1]?f[i][j-1]:f[i+(1<<(j-1))][j-1];//状态转移方程
		}
	} 
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l,r;
		scanf("%d%d",&l,&r);
		int c=log2(r-l+1);
		int ans=(f[l][c]>f[r-(1<<c)+1][c])?f[l][c]:f[r-(1<<c)+1][c];//查询
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}