最近公共祖先(LCA)(倍增)

【模板】最近公共祖先（LCA）

题目描述

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入格式

第一行包含三个正整数 $N,M,S$，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来 $N-1$ 行每行包含两个正整数 $x,y$，表示 $x$ 结点和 $y$ 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。

接下来 $M$ 行每行包含两个正整数 $a,b$，表示询问 $a$ 结点和 $b$ 结点的最近公共祖先。

输出格式

输出包含 $M$ 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5

样例输出 #1

4
4
1
4
4

提示

对于 $30\mathrm{\%}$ 的数据，$N\le 10$，$M\le 10$。

对于 $70\mathrm{\%}$ 的数据，$N\le 10000$，$M\le 10000$。

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$N\le 500000$，$M\le 500000$。

样例说明：

该树结构如下：

第一次询问：$2,4$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

第二次询问：$3,2$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

第三次询问：$3,5$ 的最近公共祖先，故为 $1$。

第四次询问：$1,2$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

第五次询问：$4,5$ 的最近公共祖先，故为 $4$。

故输出依次为 $4,4,1,4,4$。

解题思路

1.暴力思路

很容易想到一个暴力思路：
假设要求$A$和$B$的最近公共祖先,可以先判断$A$和$B$的深度相不相同，如果一样，就一起一层层地往上跑，直到相遇。如果不一样，就先让深得哪一个跑上来。如图：要求$5$和$2$的最近公共祖先。发现$5$的深度比$2$大,$5$就先向上跑(蓝线)。它们深度相等后就一起往上跑(红线)，最后发现在$4$相遇，因此$4$是$2$和$5$的最近公共祖先。因此我们需要通过$dfs$求出$de$(深度)数组和$fa$(父亲)数组。

暴力代码：

void dfs(int i,int d,int father){
	de[i]=d;//求出de数组
	fa[i]=father;//求出fa数组
	for(int j=head[i];j;j=next[j]){
		if(ver[j]!=father)dfs(ver[j],d+1,i);//dfs
	}
}
int getlca(int x,int y){
	if(x==y)return x;
	while(x!=y){
		if(de[x]==de[y])x=fa[x],y=fa[y];//一起向上跳
		else if(de[x]>de[y])x=fa[x];//如果深度不一样就跳
		else if(de[x]<de[y])y=fa[y];
	}
	return x;
}

2.倍增祖先

暴力思路会有个问题，比如树退化成一条链，就会$TLE$。
我们能不能想办法加快跳的速度呢? 我们可以使用倍增的方式加快跳。如：$8$，$4$，$2$，$1$，$0$。如图:

每次跳到最远能跳的点，这样能大大减少跳的次数。所以我们在$dfs$的时候可以多求一个$f$数组,$f_{i,j}$表示$i$的第$2^j$个祖先是谁。
转移方程为：$f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]$初始条件为：$f[i][0]=fa[i]$($i$的第 $2^j$ 个祖先$=$ $i$ 的第$2^{j-1}$个祖先的第$2^{j-1}$个祖先。)

倍增代码:

void dfs(int i,int d,int father){
	de[i]=d,f[i][0]=father;//求出de数组
	for(int j=1;j<=log2(d);j++)f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];//求出f数组
	for(int j=head[i];j;j=next[j]){
		if(ver[j]!=father)dfs(ver[j],d+1,i);//dfs
	}
}
int getlca(int x,int y){
	if(de[x]<de[y])swap(x,y);
	for(int i=19;i>=0;i--){//如果深度不一样就跳
		if(de[f[x][i]]>=de[y])x=f[x][i];
		if(x==y)return x;
	}
	for(int i=19;i>=0;i--){//一起向上跳
		if(f[x][i]!=f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i];
	}
	return f[x][0];
}