矩阵之间的关系简单整理

合集 - 线性代数(9)

1.《线性代数的本质》笔记（01-03）2024-04-142.《线性代数的本质》笔记（04-附注1-05）2024-04-143.《线性代数的本质》（06-附注2-07）2024-04-164.《线性代数的本质》笔记（09）2024-04-175.矩阵求导（一）2024-04-196.矩阵求导（二）2024-04-197.方向导数和梯度2024-04-228.《线性代数的本质》笔记（10）2024-05-06

9.矩阵之间的关系简单整理2024-05-08

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• 等价：可以通过初等变换互相转化的矩阵。当A和B为同型矩阵，且r（A）=r（B）时，A，B一定等价。
• 相似：$P^{-1}AP=B$。本质是基坐标转换，表示在不同坐标系下效果相同的线性变换过程。P为基坐标转换矩阵，是新基向量按列排列形成的矩阵。
  • 重要性质（原理）：
    1. A与B相似，则A与B有相同的特征值（亦有相同的迹与行列式）
    2. $A^m\mathrm{与}{B}^m$也相似
    3. A与B秩相同
  • 我们更关心：A是否可以与对角阵$\mathrm{\Lambda }$相似（即仅进行缩放的变换，所以对角线上的元素即为特征值）。判断标准：A有n个线性无关的特征向量）。
  • 扩展判断方式：
    1. 有n个不同的特征值，或：
    2. 每个重根的线性无关的特征向量数等于该特征值的重数。
• 正交矩阵：$A^{T}A=E$
  • 性质一：$\left|A^T\right|\left|A\right|$ =1 , $\left|A\right|$ =1或-1
  • 性质二：$A^{-1}=A^T$，且两者皆正交
  • 性质三：A、B都正交，AB也是正交矩阵
• 正交相似：存在正交矩阵P（不仅仅是可逆），使得$P^{-1}AP=B$。
• 实对称矩阵：一定能对角化，不同特征值对应的特征向量一定正交（不仅仅是线性无关）。