《线性代数的本质》笔记(10)

10-特征值与特征向量

特征向量几何含义:在一次特定的线性变换中没有脱离原本张成空间的向量。特征值即为这个特征向量在这次变换中缩放的比例。 推导: Av=λv (AλI)v=0 det(AλI)=0 但并非所有线性变换都有对应的特征值,例如旋转。不同特征向量可能有相同的特征值。 一种特殊的情况:所有的基向量都是特征向量,此时A为对角阵(只有对角线上有值,其余为0)。并且对角线上的值即为每个基向量的特征值。

快速计算方阵的幂:先求出这个矩阵对应的特征向量。如果有能够张成全空间的特征向量组(即有n个线性无关的特征向量),就可以 以其中一组特征向量作为基坐标转换后的基向量。基坐标转换的方式详见上一章。这样,这些基向量受到的相同变换一定是一个对角阵(因为在这个新的坐标系下,基向量是特征向量)。这样对原本矩阵的求幂,可以转换成对新的对角阵求幂然后再转换到原本的矩阵,即所谓的矩阵快速幂。

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