《线性代数的本质》笔记（10）

10-特征值与特征向量

特征向量几何含义：在一次特定的线性变换中没有脱离原本张成空间的向量。特征值即为这个特征向量在这次变换中缩放的比例。 推导： $$A\overrightarrow{v}=\lambda \overrightarrow{v}$$ $$(A-\lambda \mathit{\text{I}})\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$$ $$det(A-\lambda \mathit{\text{I}})=0$$ 但并非所有线性变换都有对应的特征值，例如旋转。不同特征向量可能有相同的特征值。 一种特殊的情况：所有的基向量都是特征向量，此时A为对角阵（只有对角线上有值，其余为0）。并且对角线上的值即为每个基向量的特征值。

快速计算方阵的幂：先求出这个矩阵对应的特征向量。如果有能够张成全空间的特征向量组（即有n个线性无关的特征向量），就可以 以其中一组特征向量作为基坐标转换后的基向量。基坐标转换的方式详见上一章。这样，这些基向量受到的相同变换一定是一个对角阵（因为在这个新的坐标系下，基向量是特征向量）。这样对原本矩阵的求幂，可以转换成对新的对角阵求幂然后再转换到原本的矩阵，即所谓的矩阵快速幂。