《线性代数的本质》（06-附注2-07）

合集 - 线性代数(9)

1.《线性代数的本质》笔记（01-03）2024-04-142.《线性代数的本质》笔记（04-附注1-05）2024-04-14

3.《线性代数的本质》（06-附注2-07）2024-04-16

4.《线性代数的本质》笔记（09）2024-04-175.矩阵求导（一）2024-04-196.矩阵求导（二）2024-04-197.方向导数和梯度2024-04-228.《线性代数的本质》笔记（10）2024-05-069.矩阵之间的关系简单整理2024-05-08

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06-逆矩阵、列空间、秩与零空间

线性方程组：A $\overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{v}$
线性代数的一个作用：帮助我们处理线性方程组。
形式：矩阵与向量的乘法。
几何意义：寻找一个向量$\overrightarrow{x}$ ，这个向量在特定的线性变换之后与目标向量$\overrightarrow{v}$重合。

1. 行列式不等于0：有且仅有一个向量再变换后等于目标向量。
   如何找到这个向量：使用逆向变换($A^{-1}$)来寻找。
2. 行列式为0：有无数种方式将空间压缩为一个平面，没法确定是哪个，所以无法重新复原

秩：线性变换后，原本基向量现在可以张成空间的维数。
所有变换后向量的集合称为列空间。因为他们都是由矩阵的列张成的空间。因此，列空间的维数既是秩。秩=列数：满秩。
变换后落在原点的向量的 集合，称为矩阵的零空间或者核。

附注2-非方阵 不同维度空间之间的线性变换

对于形状为（3,2）的矩阵，列空间是三维中一个过原点的平面（但是确是满秩的）。其几何意义是将二维空间映射至三维空间。

07-点积与对偶性

点积：两个向量投影到一条线上的长度之积
为什么点积可以看作投影：此部分过于精彩，并且推理过程用文字表述较为繁琐，直接看原文。