《线性代数的本质》笔记（04-附注1-05）

合集 - 线性代数(9)

1.《线性代数的本质》笔记（01-03）2024-04-14

2.《线性代数的本质》笔记（04-附注1-05）2024-04-14

3.《线性代数的本质》（06-附注2-07）2024-04-164.《线性代数的本质》笔记（09）2024-04-175.矩阵求导（一）2024-04-196.矩阵求导（二）2024-04-197.方向导数和梯度2024-04-228.《线性代数的本质》笔记（10）2024-05-069.矩阵之间的关系简单整理2024-05-08

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04-矩阵乘法与线性变换复合的联系

问：如何描述连续两个线性变换？
答：先左乘一个矩阵，再左乘一个。如果我们用一个矩阵来描述这个复合过程，那么这个矩阵应该等于两个矩阵的乘积，这就是矩阵的乘法。

如何理解上图：把右侧矩阵M2看作看作第一次变换后的$\hat{i}$ 向量和$\hat{j}$ 向量，然后再分别考虑两个向量在第二次变换后的状态，分别写入复合矩阵的两列中！

附注1-三维空间的线性变换

三维空间的线性变换由三个基向量的变化（一个3*3的矩阵）完全决定。

05-行列式

行列式：一个二维平面中线性变换中面积变化的比例（带符号）。考虑基向量，就是围成正方形变换后的面积。
行列式为0：将整个空间压扁成线或点这样更小的空间上
变换后，如果$\hat{j}$位于$\hat{i}$右边，说明空间发生了翻转，行列式为负。

三维空间中，行列式是体积缩放的比例。行列式为0，说明被压缩到了平面/直线/点上。此时矩阵的列线性相关（至少有一个列不能张成新的空间维度）
右手定则：食指i，中指j，大拇指为k。如果变换后要换成左手，说明行列式为负。

-问：如何计算行列式？
-答：通常不用太在意，可以参考下图或者用克莱姆法则等方式。