后缀自动机练习专题

一些比较有用的东东：

(1) $\text{sam}$ 上一条从初始状态出发的路径对应一个子串
(2) $\text{parent}$ 树上一个节点能表示的最长的串对应一个前缀/后缀
(3) $len(u)$ 表示节点 $u$ 能表示的最长串的长度
(4) $fa(u)$ 表示节点 $u$ 的后缀链接指向的节点，也就是其在 $\text{parent}$ 树上的父亲
(5) 表示两个后缀的公共前缀的节点是两个后缀在 $\text{parent}$ 树上的 $lca$
(6) $R(u)$ 表示节点 $u$ 的 $\text{right}$ 集合， $sz(u)$ 表示 $R(u)$ 的大小， $R(u) \subset R(fa(u)), sz(u) < sz(fa(u))$
(7) 广义 $\text{sam}$ 可以理解为一个 $\text{sam}$ 维护多个串，每一次插入完一个串后将 $tail$ 指针设为初始状态

## SPOJ 1811 Longest Common Substring

给出两个串 $s, t$ ，求这 $s, t$ 的最长公共子串， $|s|, |t| \leq 2.5 \times 10^5$

对于 $s$ 建 $\text{sam}$ ，根据 (1) 可以将 $t$ 放进 $\text{sam}$ 匹配，当失配时相当于要要从当前匹配到的串的一个后缀继续开始匹配，等价于在 $\text{sam}$ 上跳 $fa(u)$ 。可以证明这样一定能匹配到最长公共子串。

## SPOJ 1812 Longest Common Substring II

给出 $n$ 个串，求这个 $n$ 个串的最长公共子串， $1 \leq n \leq 10, |s| \leq 10^5$

和上题类似的，还是取出一个串建 $\text{sam}$ ，可以求出每一个节点被多少个串匹配到了，那么答案就是 $\max(len(u))$ ， $u$ 是被 $n - 1$ 个串匹配到的节点。考虑每一次匹配到某个节点的时候，根据 (6)，其祖先代表的串也会被匹配到，所以每一个串匹配完以后还要更新其祖先的匹配次数，暴力向上跳即可。

另外一种做法，考虑串数只有 $10$ ，可以建一个广义 $\text{sam}$ 将所有串放进去，用二进制维护 $R(u)$ 是否包含来自某个串的后缀，当一个节点包含来自所有串的后缀时，其就可以对答案产生贡献。当 $n$ 比较大的情况可以用 $\text{bitset}$ 或者线段树合并来维护。

## SPOJ 7258 Lexicographical Substring Search

给出一个串 $s$ ，以及 $q$ 次询问，每次询问 $s$ 中第 $k$ 小的子串，重复的子串仅算一次， $|s| \leq 9 \times 10^4, q \leq 500$

可以不考虑 $\text{parent}$ 树，只考虑 (1) ，计算出每一个节点向下走能走到的路径数量。由于要求的是字典序第 $k$ 小，每一次二分出从这个节点出发应该走的转移边的字符是什么，向下走即可。这样做复杂度是 $O(|s|q)$ ，由于 $q$ 不大，足以通过此题。

实际上考虑 $\text{parent}$ 可以进一步优化算法的复杂度，考虑原先的 $\text{parent}$ 树一个节点代表的多个串都是最长的串的一个后缀，是一棵类似于前缀树的结构，这样不能适用于一些字典序上优美的性质。不妨将串反序插入到 $\text{sam}$ 中，这样每一个点能代表的多个串都是最长的串的前缀，这些串从长到短在字典序上一定是有序的。扩展到整棵树上，根据 $mn(u) = len(fa(u)) + 1$ ，每个点代表的字符串都比其祖先代表的字符串的字典序大。于是可以计算出每一棵子树代表了多少串，在 $\text{dfn}$ 序上二分答案即可，复杂度是 $O(qlogn)$ 。

## 「TJOI2015」弦论

给出一个串 $s$ ，根据题目要求来求出相同子串算一个或多个的第 $k$ 小子串 $|s| \leq 5 \times 10^5$

第一问和上一题完全等价，考虑第二问的情况，一个子串在 $s$ 中的出现次数就是其对应 $\text{parent}$ 树节点的 $\text{right}$ 集合大小，也就是 $sz(u)$ ，只需要对于每一条路径把权值为 $sz(u)$ 进行统计即可。

## Codechef January Challenge 2018 - Killjee and k-th letter

给出一个的串 $s$ ，将 $s$ 所有子串按照字典序排列好相接起来形成一个新串， $q$ 次询问，每一次询问问新串中的第 $k$ 个字符是什么，强制在线。 $|s|, q \leq 2 \times 10^5$

考虑上上题给基于 $\text{parent}$ 的做法，反序插入后每个节点代表的字符串在 $\text{dfn}$ 序上是有序的，所以只要求出每一个节点代表的串的数量，然后对 $\text{dfn}$ 序进行二分求出答案在哪个节点代表的子串上。考虑一个子串其所代表的串长度是从 $[len(fa(u))+1,len(u)]$ 连续的，可以直接求出 $k$ 对应的子串是从节点 $u$ 对应的后缀的多少位，查找该位置在原串上的字符即可

Codeforces 873 F. Forbidden Indices

有一个串 $s$ ， $s$ 的有些位置是非法的，求所有不以非法位置为结尾的子串 $a$ ， $\sum|a|\times tot(a)$ 的值，其中 $tot(a)$ 表示 $a$ 在 $s$ 中的出现次数。 $|s| \leq 2 \times 10^5$

$\text{parent}$ 树上一个节点代表的串的总数就是 $(len(u)-len(fa(u))) \times sz(u)$ ，维护出每一个串不含非法位置的 $\text{right}$ 集合大小后直接求和

## 「AHOI2013」差异

给出一个串 $s$ ，对于其所有后缀 $t_i, t_j$ ，求 $\sum len(t_i)+len(t_j) - 2len(lcp(t_i, t_j))$ 的值, $|s| \leq 5 \times 10^5$

考虑将串反序插入到 $\text{parent}$ 树后，两个后缀节点的 $\text{lcp}$ 就是他们的 $\text{lca}$ ，那么可以树形 $\text{dp}$ 出以每一个节点作为 $\text{lca}$ 时得到的 $\sum len(t_i)+len(t_j) - 2len(u)$ ，最后对所有节点求和就是答案

## 「NOI2015」品酒大会

给出一个串 $s$ 和一个序列 $a$ ，对于所有 $i$ ，求出 $lcp(x, y) \geq i$ 的方案数以及满足条件的最大的 $a_x \times a_y$ $|s| \leq 3 \times 10^5|a_i| \leq 10^9$

本质上和上一题做法一样，考虑第一问只需要求出对于每一个节点 $u$ ，在其子树里选出两个节点 $\text{lca}$ 为 $u$ 的方案数即可，第二问稍有复杂，因为权值可正可负，需要分类讨论 $\text{dp}$ 维护最大值和最小值，便于合并相乘时统计答案

## 「BZOJ3473」字符串 (双倍经验=3277)

给出 $n$ 个字符串，求有多少个子串是其中至少 $k$ 个字符串的子串， $\sum|s| \leq 10^5, 1\leq k \leq n$

建立一个广义 $\text{sam}$ ，每次插入一个串后维护一下 $\text{parent}$ 树上哪些节点的 $\text{right}$ 集合已经拥有了来自这个串的后缀，这样每一个新增的插入节点都需要向祖先更新这个信息，根据均值不等式分析，插入所有串的总复杂度是 $O(|s|\sqrt|s|)$ 。