「UER#2」谣言的传播

「UER#2」谣言的传播

写了个乱搞，怎么莫名其妙就AC了，这...，之后又想了30min结合题解终于会证了。

首先最大值比较简单，记 \(f_i\) 为第 \(i\) 个点能到达的点数，上界 \(\sum_{i=1}^n f_i\) 一定可以取到。考虑取到是这么一件事情，如果 \(b_x=y\) 那么 \(y\) 一定不能是 \(x\) 在外向树上的祖先以及环上的节点，外向树的根的前驱例外。那么有这么一个贪心，枚举每一棵外向树，用一个栈维护当前节点可以匹配的节点，一开始前驱在栈中。对于每一个节点，先优先匹配完其子树，然后再从栈中选取一个节点给它匹配。这样保证了如果存在完美匹配，一定不存在会令一个点取不到 \(f_i\) 的情况。然后证明，这样一定有完美匹配，考虑每一个节点，如果其不是叶子，那么其一定可以与其的某个孩子匹配。如果是叶子，那么只有遍历到第一个的叶子时候栈中不存在非其祖先节点，其余情况因为之前已经遍历了至少一个叶子，所以之前的到它的路径上至少遇到了一个孩子数量 \(>1\) 的节点，而一棵外向树做完以后至少会提供一个未匹配节点，这个叶子必然可以与那个未匹配节点匹配。最后再让第一个遍历到的叶子与前驱匹配即可。

最小值比较难，考虑这么一件事情，一个节点如果与其子树中的节点匹配，则会使答案减少 \(f_i-1\) ，如果外向树的根 \(x\) 与环上某个节点 \(y\) 匹配，则会使答案减少 \(lenth-dis(x,y)\) 。还是类似的构造方法，只不过将原来 \(x\) 和 \(y\) 匹配改成 \(y\) 和 \(x\) 匹配。考虑一个叶子节点，其一定不能和子树内匹配。考虑一个非叶子节点，其一定可以和其一个儿子匹配。特殊的，如果一棵外向树只有一个点，它可以与环上的后继匹配，这样使 \(len-dis(x,y)\) 取到最大，这样我们保证了只要能取 \(f_i-1\) 就一定取到，不能取到的情况下也取到了最优的值，这是个紧的下界。

用栈是因为在求最大值的过程中，即使不匹配儿子也是可以的，但是求最小值的过程中要严格与儿子匹配，所以用栈维护未匹配点可以保证这一点，复杂度 \(\mathcal O(n)\) 。

code

/*program by mangoyang*/
#include <bits/stdc++.h>
#define inf (0x7f7f7f7f)
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
typedef long long ll;
using namespace std;
template <class T>
inline void read(T &x){
	int ch = 0, f = 0; x = 0;
	for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;
	for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - 48;
	if(f) x = -x;
}
const int N = 200005;
ll ans, ans2;
stack<int> st;
vector<int> g[N];
int vis[N], ins[N], inc[N], f[N], dep[N], c[N], b[N], n;
inline int getcircle(int u, vector<int> &A){
	if(ins[u]) return 1;
	ins[u] = 1;
	for(auto v : g[u]){
		int tmp = getcircle(v, A);
		if(tmp == 0) continue;
		if(tmp == 2) return 2;
		A.push_back(v);
		return u == A[0] ? 2 : 1;
	}
	return ins[u] = 0, 0;
	
}
inline void mark(int u){
	vis[u] = 1;
	for(auto v : g[u]) if(!vis[v]) mark(v);
}
inline void gao(int u, int fa, int lenth){
	dep[u] = dep[fa] + 1;
	f[u] = dep[u] + lenth - 1;
	ans += f[u], ans2 += f[u];
	int flag = 0;
	for(auto v : g[u]) if(v != fa && !inc[v]){
		flag = 1;
		gao(v, u, lenth), st.push(v);
	}
	b[u] = st.top(), st.pop();
	if(flag) ans2 -= f[u] - 1;
	if(!flag && !fa) ans2 -= lenth - 2;
}
int main(){
	read(n);
	for(int i = 1, x; i <= n; i++)
		read(x), g[x].push_back(i);
	for(int i = 1; i <= n; i++) if(!vis[i]){
		vector<int> A;
		getcircle(i, A), mark(i);
		reverse(A.begin(), A.end());
		for(auto x : A) inc[x] = 1;
		int size = A.size();
		for(int i = 0; i < (int) A.size(); i++){
			st.push(i == size - 1 ? A[0] : A[i+1]);
			gao(A[i], 0, (int) A.size());
		}	
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) c[b[i]] = i;
	printf("%lld\n", ans2);
	for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", c[i]);
	puts("");
	printf("%lld\n", ans);
	for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", b[i]);
}