弦图及区间图学习笔记
弦图学习笔记
参考: WC2009讲稿
定义及性质：
不存在 \(\geq 4\) 的简单环的图，即对于图中每一个 \(\geq 4\) 的环，都存在至少一条连接环不相邻节点的边。
弦图的每一个导出子图都是弦图，其任意一个导出子图不同构与 \(\geq 4\) 的简单环。
单纯点：
记 \(N(v)\) 为 \(v\) 的相邻点集，\(v\) 为单纯点当且仅当 \(v + N(v)\) 的导出子图为一个团。
引理 ：任何一个弦图都有至少一个单纯点，不同于完全图的弦图至少有两个相邻的单纯点。
完美消除序列：
对于一个点的排列 \(p_i\) ，满足 \(\forall p_i\) 在 \(\{v_i,v_{i+1}..v_n\}\) 的导出子图中是一个单纯点。
求法： 最大势算法可以在 \(\mathcal O(n+m)\) 的复杂度内求出一个消除序列的反序。一开始设所有点的权值为 \(0\) ，每次随便取出一个权值最大的点加入序列，并把其相邻的点权值 \(+1\) 。
判定：对于每一个点 \(v\) ，设 \(N(v)\) 在其序列位置之后的点集为 \(N'(v)\) ，检查 \(N'(v)\) 中第一个点是否与其它点有连边即可。
弦图的判定定理：
一个无向图是弦图当且仅当它有一个完美消除序列。
充分性： 引理可以得知一个弦图至少有一个单纯点，删去这个单纯点后仍然是一个弦图，可以数学归纳证明。
必要性：若无向图中存在一个 \(k \geq 4\) 的无弦环，若存在完美消除序列，取出这个环在消除序列中最前面的点，此时消除序列说其导出子图是团，与无弦环矛盾。
弦图的判定：
用最大势算法求出一个可能的完美消除序列， \(\mathcal O(n + m)\) 判断这个完美消除序列是否合法即可。
弦图的极大团：
弦图的极大团一定是 \(v \cup N'(v)\) 的形式，设 \(next(v)\) 为 \(N'(v)\) 中出现最前的点，若存在一个 \(u\) ，满足
那么意味着 \(v\cup N'(v)\sub u \cup N'(u)\) ，此时 \(v \cup N'(v)\) 不是极大团，那么只需要判断是否存在一个这样的 \(u\) 即可，可以 \(\mathcal O(n+m)\) 计算。
弦图的点染色问题：
最小点染色：每次贪心的在完美消除序列上染色， 给当前点染一个可以染的最小的颜色，即是弦图的最小染色数。假设使用了 \(T\) 种颜色，\(T=\) 最大团点数，又因为最大团点数 \(\leq\) 色数，所以这样求出的 \(T\) 是最小的染色数。
k-染色方案数计数：\(=\prod_{i=1}^n k-N'(p_i)+1\)，因为 \(\forall v\cup N'(v)\) 都是其所在完美消除序列后缀的极大团， \(v\) 颜色不能与 \(N'(v)\) 中任意一个相同。
弦图的最大点独立集：
在完美消除序列上从前往后选取，能选就选。假设选出了 \(x\) 个点，那么这 \(x\) 个点一定是一个最小团覆盖，又因为最小团覆盖 $\geq $ 最大独立集，所以求出来的点集是最大点独立集。
区间图：
区间图是弦图，区间图的一个完美消除序列是按照右端点排序，然后就可以用数据结构维护许多东西了，证明先咕咕了。
