缩点

P3387 【模板】缩点

缩点，即把一张有向有环图中的 \(\rm SCC\) 都缩成一个个点，形成一个 \(\rm DAG\)。

对于本题，若一个点被选到了，则该点所在的 \(\rm SCC\) 中的所有点都可以选到，那当然都要选了。

老师：天上掉馅饼，我不选！

杠精：我偏不选！

所以，我们可以直接把一个 \(\rm SCC\) 缩成一个点，这个点的点权 \(sum(i)\) 为原 \(\rm SCC\) 内所有点的点权和。

首先是找 \(\rm SCC\)，直接用 \(\rm Tarjan\) 即可。有向图的强连通分量

找到之后就将每个 \(\rm SCC\) 缩成一个点，建新图；然后使用 \(\rm dp\)，对于新图上的边 \(<u,v>\)，\(dp(v)\gets\max(dp(v),dp(u)+sum(v))\)。

注意到 \(\rm dp\) 是无后效性的，所以我们还需要进行一次拓扑排序。

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\(\rm Code\)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <stack>
#include <queue>
#define re register
using namespace std;

inline int read()
{
	re int x = 0, f = 0;
	re char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9')
	{
		f |= c == '-';
		c = getchar();
	}
	while (c >= '0' && c <= '9')
	{
		x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ '0');
		c = getchar();
	}
	return f ? -x : x;
}

inline void write(int x)
{
	if (x < 0)
	{
		putchar('-');
		x = -x;
	}
	if (x > 9)
	{
		write(x / 10);
	}
	putchar(x % 10 ^ '0');
}

inline int max2(int x, int y)
{
	return x > y ? x : y;
}

inline int min2(int x, int y)
{
	return x < y ? x : y;
}
//-----------------------------------------------------------
const int MAXN = 1e4 + 5;
const int MAXM = 1e5 + 5;

int n, m, cnt1, cnt2, Time;
int w[MAXN], head1[MAXN], head2[MAXN], dfn[MAXN], low[MAXN], c[MAXN], sum[MAXN], in[MAXN], dp[MAXN];
bool ins[MAXN];
stack<int> sta;
queue<int> q;

struct edge
{
	int to, nxt;
}e1[MAXM], e2[MAXM];

void add1(int u, int v)
{
	e1[++cnt1] = edge{v, head1[u]};
	head1[u] = cnt1;
}

void add2(int u, int v)
{
	e2[++cnt2] = edge{v, head2[u]};
	head2[u] = cnt2;
	in[v]++;
}

void tarjan(int u)
{
	dfn[u] = low[u] = ++Time;
	sta.push(u);
	ins[u] = true;
	for (re int i = head1[u]; i; i = e1[i].nxt)
	{
		int v = e1[i].to;
		if (!dfn[v])
		{
			tarjan(v);
			low[u] = min2(low[u], low[v]);
		}
		else if (ins[v])
		{
			low[u] = min2(low[u], dfn[v]);
		}
	}
	if (dfn[u] == low[u])
	{
		int v = 0;
		while (u != v)
		{
			v = sta.top();
			sta.pop();
			ins[v] = false;
			c[v] = u;
			sum[u] += w[v];
		}
	}
}

void topo()
{
	queue<int> q;
	for (re int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (c[i] == i && !in[i]) //为SCC的起点
		{
			q.push(i);
			dp[i] = sum[i];
		}
	}
	while (!q.empty())
	{
		int u = q.front();
		q.pop();
		for (re int i = head2[u]; i; i = e2[i].nxt)
		{
			int v = e2[i].to;
			dp[v] = max2(dp[v], dp[u] + sum[v]);
			if (!--in[v])
			{
				q.push(v);
			}
		}
	}
}

int main()
{
	n = read(), m = read();
	for (re int i = 1; i <= n; i++)	
	{
		w[i] = read();
	}
	for (re int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int u = read(), v = read();
		add1(u, v);
	}
	for (re int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (!dfn[i])
		{
			tarjan(i);
		}
	}
	for (re int u = 1; u <= n; u++)
	{
		for (int i = head1[u]; i; i = e1[i].nxt)
		{
			int v = e1[i].to;
			if (c[u] != c[v]) //不在同一个SCC内，建边
			{
				add2(c[u], c[v]);
			}
		}
	}
	topo();
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		ans = max2(ans, dp[i]);
	}
	write(ans);
	return 0;
}