各种优化建图（留坑）

一、线段树优化

1.

$n$ 个点，$m$ 个操作：

• 1 u l r w $u$ 向区间 $[l, r]$ 的节点连长度为 $w$ 的边；

• 2 u l r w 区间 $[l, r]$ 的节点向 $u$ 连长度为 $w$ 的边；

• 3 x y l r w 区间 $[x, y]$ 的节点向区间 $[l, r]$ 的节点连长度为 $w$ 的边。

求 $1$ 到 $n$ 的最短路。

• $n, m\le 10^5$。

直接暴力连可使边数达到 $\Omicron(n^2m)$。

使用线段树优化，将线段树上每一个节点当成这一段区间。

建两颗线段树 $A$ 和 $B$，$A$ 中父亲向儿子连长度为 $0$ 的边，$B$ 中儿子向父亲连长度为 $0$ 的边，二者共用叶子节点，叶子节点编号为 $1\sim n$。

1. $u$ 向 $A$ 上构成 $[l, r]$ 的节点连长度为 $w$ 的边；
2. $B$ 上构成 $[l, r]$ 的节点向 $u$ 连长度为 $w$ 的边；
3. 建一个虚点，$B$ 上构成 $[x, y]$ 的节点向虚点连长度为 $w$ 的边，虚点向 $A$ 上构成 $[l, r]$ 的节点连长度为 $0$ 的边。

这样可将边数降至 $\Omicron(m\log n + n)$，点数为 $\Omicron(n + m)$ 级别，用二叉堆实现的 $\rm Dijkstra$ 可做到 $\Omicron(m\log^2 n)$。

CF786B Legacy（模板，最短路）Code

2.

P5025 [SNOI2017]炸弹

（注意 $x_i$ 已经排过序了）

对于每一个炸弹，使用 $\rm lower\_bound$ 与 $\rm upper\_bound$ 算出它能引爆的炸弹编号范围，与上题一样用线段树连边。

随后 $\rm Tarjan$ 缩点，并顺便维护每个强连通分量内能引爆的编号的左右端点 $l_i, r_i$，那么只要引爆强连通分量内的任意一个节点，这一段区间内都会被引爆，因为强连通分量内部可以全部互相引爆。

最后再对缩点后的图进行 $\rm Dfs$，当节点 $u$ 指向节点 $v$ 时，有

$$l_u \gets \min(l_u, l_v) \\ r_u \gets \max(r_u, r_v)$$

原因是 $u$ 爆炸可以引爆 $v$。

对于炸弹 $i$，如果它属于强连通分量 $u$，则引爆 $i$ 会导致 $r_u - l_u + 1$ 个炸弹爆炸。

Code

3.

P3588 [POI2015] PUS

注意题目规定数的范围是 $[1, 10^9]$。

由于 $a_i$ 是正整数，所以由

$$a_x > a_y$$

得

$$a_x \ge a_y +1$$

这就是一个差分约束了，使用拓扑排序解决（可以判环），首先照抄线段树区间连边（$k$ 个大的数将 $[l,r]$ 分成若干段，分段处理，大的与小的分别连虚拟点），然后令 $dp_u$ 表示节点 $u$ 的最小值，初始值所有均为 $1$（范围内最小值），如果数已知则为已知值。

当节点 $u$ 指向节点 $v$ 时，

$$dp_v = \max(dp_v, dp_u + dis_{u, v})$$

无解有 $3$ 种情况：

1. 出现环（用 $vis$ 值判）；
2. 超出范围；
3. $a_u$ 有已知值，但 $dp_u > a_u$。

注意最后只判断叶子节点（即节点 $1\sim n$，区间长度为 $1$ 的节点）。

Code

二、 前后缀优化

1.

$n$ 个点，$m$ 个操作：

• 1 u l r w $u$ 向区间 $[l, r]$ 以外的节点连长度为 $w$ 的边；
• 2 u l r w 区间 $[l, r]$ 以外的节点向 $u$ 连长度为 $w$ 的边；
• 3 x y l r w 区间 $[x, y]$ 以外的节点向区间 $[l, r]$ 以外的节点连长度为 $w$ 的边。

求 $1$ 到 $n$ 的最短路。

• $n, m\le 5\times 10^5$。

线段树是 $\Omicron(m\log^2 n)$ 的，过不去。

区间 $[l, r]$ 以外 相当于 前缀 $[1, l - 1]$与后缀 $[r + 1, n]$。

新建 $n$ 个点 $pre_i$ 表示前缀 $[1, i]$，再新建 $n$ 个点 $suf_i$ 表示后缀 $[i, n]$。

从 $pre_i$ 分别向 $i$ 和 $pre_{i - 1}$ 连长度为 $0$ 的边，从 $suf_i$ 分别向 $i$ 和 $suf_{i + 1}$ 连长度为 $0$ 的边。

1. $u$ 向 $pre_{l - 1}$ 和 $suf_{r + 1}$ 连长度为 $w$ 的边；
2. $pre_{l - 1}$ 和 $suf_{r +1}$ 向 $u$ 连长度为 $w$ 的边；
3. $pre_{x - 1}$ 和 $suf_{y + 1}$ 分别向 $pre_{l - 1}$ 和 $suf_{r +1}$ 连长度为 $w$ 的边。

点数为 $\Omicron(n)$ 级别，边数为 $\Omicron(n + m)$ 级别，$\rm Dijkstra$ 可做到 $\Omicron((n + m)\log n)$，足已通过。

2.

P6378 [PA2010] Riddle

用 $\rm 2-SAT$ 解决，每个点有选与不选两种，用 $u$ 和 $u’$ 表示。

以下连一条边 $u\to v$ 指连双向边， $u$ 符合则 $v$ 必定符合，$v$ 不符合则 $u$ 必定不符合（在图中连 $2$ 条边 $(u\to v), (v'\to u')$）。

由于原图中一条边 $(u, v)$ 的两个端点至少选一个，所以要连边 $u'\to v$（$u$ 不选则 $v$ 必选，$v$ 不选则 $u$ 必选），注意不能是 $u$ 向 $v’$ 连边，因为是 至少 选一个。

代表前缀 $[1, i]$ 的点 $pre_i$ 表示在该部分中前 $i$ 个点是否有被选的。

连边：

$$a_i\to pre_{a_i} \\ pre_{a_i} \to pre_{a_{i - 1}} \\ pre_{a_{i - 1}} \to a_i'$$

然后跑 $\rm Tarjan$ 并判断即可。

Code

3.

CF1215F Radio Stations

仍然是 $\rm 2-SAT$，$u$ 和 $u'$ 分别表示电站 $u$ 开不开。

至少一个就是 $u’\to v$，至多一个则是 $u\to v'$。

新建立 $2(m + 1)$ 个点，分别表示当 $k$ 取 $0\sim m$ 时 $f\le k$ 是否成立，记为 $a_i$。

对于一个电站 $u$，连边：

$$u\to a_{l_u - 1}' \\ u\to a_{r_u} \\ $$

跑完 $\rm Tarjan$ 后进行判断无解就不说了。

当 $bel_u < bel_{u'}$ 时，说明电站 $u$ 是开的，电站个数加一；

当 $bel_{a'_{k - 1}} < bel_{a_{k - 1}}$ 且 $bel_{a_k} < bel_{a'_k}$ 时，说明 $f > k - 1$ 且 $f\le k$，那么 $k$ 就是其中一个满足条件的 $f$，输出。

最后注意 $f$ 是不能取 $0$ 的，处理方法是连边 $a_0\to a'_0$，这样保证了 $f\le 0$ 是一定不符合的，否则会出现矛盾。

Code