各种优化建图（留坑）

一、线段树优化

1.

\(n\) 个点，\(m\) 个操作：

• 1 u l r w \(u\) 向区间 \([l, r]\) 的节点连长度为 \(w\) 的边；

• 2 u l r w 区间 \([l, r]\) 的节点向 \(u\) 连长度为 \(w\) 的边；

• 3 x y l r w 区间 \([x, y]\) 的节点向区间 \([l, r]\) 的节点连长度为 \(w\) 的边。

求 \(1\) 到 \(n\) 的最短路。

• \(n, m\le 10^5\)。

直接暴力连可使边数达到 \(\Omicron(n^2m)\)。

使用线段树优化，将线段树上每一个节点当成这一段区间。

建两颗线段树 \(A\) 和 \(B\)，\(A\) 中父亲向儿子连长度为 \(0\) 的边，\(B\) 中儿子向父亲连长度为 \(0\) 的边，二者共用叶子节点，叶子节点编号为 \(1\sim n\)。

1. \(u\) 向 \(A\) 上构成 \([l, r]\) 的节点连长度为 \(w\) 的边；
2. \(B\) 上构成 \([l, r]\) 的节点向 \(u\) 连长度为 \(w\) 的边；
3. 建一个虚点，\(B\) 上构成 \([x, y]\) 的节点向虚点连长度为 \(w\) 的边，虚点向 \(A\) 上构成 \([l, r]\) 的节点连长度为 \(0\) 的边。

这样可将边数降至 \(\Omicron(m\log n + n)\)，点数为 \(\Omicron(n + m)\) 级别，用二叉堆实现的 \(\rm Dijkstra\) 可做到 \(\Omicron(m\log^2 n)\)。

CF786B Legacy（模板，最短路）Code

2.

P5025 [SNOI2017]炸弹

（注意 \(x_i\) 已经排过序了）

对于每一个炸弹，使用 \(\rm lower\_bound\) 与 \(\rm upper\_bound\) 算出它能引爆的炸弹编号范围，与上题一样用线段树连边。

随后 \(\rm Tarjan\) 缩点，并顺便维护每个强连通分量内能引爆的编号的左右端点 \(l_i, r_i\)，那么只要引爆强连通分量内的任意一个节点，这一段区间内都会被引爆，因为强连通分量内部可以全部互相引爆。

最后再对缩点后的图进行 \(\rm Dfs\)，当节点 \(u\) 指向节点 \(v\) 时，有

\[l_u \gets \min(l_u, l_v) \\ r_u \gets \max(r_u, r_v) \]

原因是 \(u\) 爆炸可以引爆 \(v\)。

对于炸弹 \(i\)，如果它属于强连通分量 \(u\)，则引爆 \(i\) 会导致 \(r_u - l_u + 1\) 个炸弹爆炸。

Code

3.

P3588 [POI2015] PUS

注意题目规定数的范围是 \([1, 10^9]\)。

由于 \(a_i\) 是正整数，所以由

\[a_x > a_y \]

得

\[a_x \ge a_y +1 \]

这就是一个差分约束了，使用拓扑排序解决（可以判环），首先照抄线段树区间连边（\(k\) 个大的数将 \([l,r]\) 分成若干段，分段处理，大的与小的分别连虚拟点），然后令 \(dp_u\) 表示节点 \(u\) 的最小值，初始值所有均为 \(1\)（范围内最小值），如果数已知则为已知值。

当节点 \(u\) 指向节点 \(v\) 时，

\[dp_v = \max(dp_v, dp_u + dis_{u, v}) \]

无解有 \(3\) 种情况：

1. 出现环（用 \(vis\) 值判）；
2. 超出范围；
3. \(a_u\) 有已知值，但 \(dp_u > a_u\)。

注意最后只判断叶子节点（即节点 \(1\sim n\)，区间长度为 \(1\) 的节点）。

Code

二、 前后缀优化

1.

\(n\) 个点，\(m\) 个操作：

• 1 u l r w \(u\) 向区间 \([l, r]\) 以外的节点连长度为 \(w\) 的边；
• 2 u l r w 区间 \([l, r]\) 以外的节点向 \(u\) 连长度为 \(w\) 的边；
• 3 x y l r w 区间 \([x, y]\) 以外的节点向区间 \([l, r]\) 以外的节点连长度为 \(w\) 的边。

求 \(1\) 到 \(n\) 的最短路。

• \(n, m\le 5\times 10^5\)。

线段树是 \(\Omicron(m\log^2 n)\) 的，过不去。

区间 \([l, r]\) 以外 相当于 前缀 \([1, l - 1]\)与后缀 \([r + 1, n]\)。

新建 \(n\) 个点 \(pre_i\) 表示前缀 \([1, i]\)，再新建 \(n\) 个点 \(suf_i\) 表示后缀 \([i, n]\)。

从 \(pre_i\) 分别向 \(i\) 和 \(pre_{i - 1}\) 连长度为 \(0\) 的边，从 \(suf_i\) 分别向 \(i\) 和 \(suf_{i + 1}\) 连长度为 \(0\) 的边。

1. \(u\) 向 \(pre_{l - 1}\) 和 \(suf_{r + 1}\) 连长度为 \(w\) 的边；
2. \(pre_{l - 1}\) 和 \(suf_{r +1}\) 向 \(u\) 连长度为 \(w\) 的边；
3. \(pre_{x - 1}\) 和 \(suf_{y + 1}\) 分别向 \(pre_{l - 1}\) 和 \(suf_{r +1}\) 连长度为 \(w\) 的边。

点数为 \(\Omicron(n)\) 级别，边数为 \(\Omicron(n + m)\) 级别，\(\rm Dijkstra\) 可做到 \(\Omicron((n + m)\log n)\)，足已通过。

2.

P6378 [PA2010] Riddle

用 \(\rm 2-SAT\) 解决，每个点有选与不选两种，用 \(u\) 和 \(u’\) 表示。

以下连一条边 \(u\to v\) 指连双向边， \(u\) 符合则 \(v\) 必定符合，\(v\) 不符合则 \(u\) 必定不符合（在图中连 \(2\) 条边 \((u\to v), (v'\to u')\)）。

由于原图中一条边 \((u, v)\) 的两个端点至少选一个，所以要连边 \(u'\to v\)（\(u\) 不选则 \(v\) 必选，\(v\) 不选则 \(u\) 必选），注意不能是 \(u\) 向 \(v’\) 连边，因为是 至少 选一个。

代表前缀 \([1, i]\) 的点 \(pre_i\) 表示在该部分中前 \(i\) 个点是否有被选的。

连边：

\[a_i\to pre_{a_i} \\ pre_{a_i} \to pre_{a_{i - 1}} \\ pre_{a_{i - 1}} \to a_i' \]

然后跑 \(\rm Tarjan\) 并判断即可。

Code

3.

CF1215F Radio Stations

仍然是 \(\rm 2-SAT\)，\(u\) 和 \(u'\) 分别表示电站 \(u\) 开不开。

至少一个就是 \(u’\to v\)，至多一个则是 \(u\to v'\)。

新建立 \(2(m + 1)\) 个点，分别表示当 \(k\) 取 \(0\sim m\) 时 \(f\le k\) 是否成立，记为 \(a_i\)。

对于一个电站 \(u\)，连边：

\[u\to a_{l_u - 1}' \\ u\to a_{r_u} \\ \]

跑完 \(\rm Tarjan\) 后进行判断无解就不说了。

当 \(bel_u < bel_{u'}\) 时，说明电站 \(u\) 是开的，电站个数加一；

当 \(bel_{a'_{k - 1}} < bel_{a_{k - 1}}\) 且 \(bel_{a_k} < bel_{a'_k}\) 时，说明 \(f > k - 1\) 且 \(f\le k\)，那么 \(k\) 就是其中一个满足条件的 \(f\)，输出。

最后注意 \(f\) 是不能取 \(0\) 的，处理方法是连边 \(a_0\to a'_0\)，这样保证了 \(f\le 0\) 是一定不符合的，否则会出现矛盾。

Code