【数学】高斯-约旦消元法
给定 \(n\) 元一次方程组
请求出方程组的解的情况:
-
无解;
-
无穷多解;
-
唯一解。
对于这样的问题,我们可以使用 高斯消元法 进行求解,当然高斯消元法有一个回代的过程,代码略长,而且精度较低。
所以我们隆重推出 高斯-约旦消元法 !!!
回顾一下我们是怎么手算的,一般用的都是 加减消元法,普通高斯和高斯-约旦用的都是加减消元。
在此之前,我们需要了解一下矩阵初等变换。
在线性代数中,矩阵初等行变换 是指以下三种变换类型 :
-
交换矩阵的两行;
-
用一个非零数 \(k\) 乘矩阵的某一行所有元素;
-
把矩阵的某一行所有元素乘以一个数 \(k\) 后加到另一行对应的同一列的元素上;
类似地,把以上的 行
改为 列
便得到 矩阵初等列变换 的定义。
矩阵初等行变换与初等列变换合称为 矩阵初等变换。
若矩阵 \(A\) 经过有限次的初等行变换变为矩阵 \(B\),则矩阵 \(A\) 与矩阵 \(B\) 行等价;若矩阵 \(A\) 经过有限次的初等列变换变为矩阵 \(B\),则矩阵 \(A\) 与矩阵 \(B\) 列等价;若矩阵 \(A\) 经过有限次的初等变换变为矩阵 \(B\),则矩阵 \(A\) 与矩阵 \(B\) 等价。
当然列的用不着
首先有一个由系数构成的 \(n\times n\) 的矩阵
然后是一个由常数构成的 \(n\times 1\) 的列向量
把它们放在一起构成一个 \(n\times(n+1)\) 的增广矩阵:
我们遍历每一列,对于第 \(i\) 列选出最大的 未处理过的行 上的数作为主元,意味着加减消元后除了主元这一行外其他行的第 \(i\) 列都为 \(0\)。
选最大的作为主元的原因是避免精度误差。
然后就是加减消元了。
举个例子
增广矩阵就是
先是第 \(1\) 列,选 \(4\) 为主元。
\(4\) 在第 \(2\) 行,将第 \(2\) 行与第 \(1\) 行交换。
对于第 \(2\) 行,第一列上的 \(2\) 是 \(4\) 的 \(\dfrac{1}{2}\)。
化简得
对第 \(3\) 行的处理同理
现在到了第 \(2\) 列,未处理过的是 \(2,3\) 行,选最大的 \(\dfrac{3}{4}\) 为主元。
将第 \(3\) 行与第 \(2\) 行交换
消元得
第 \(3\) 列,未处理过的是第 \(3\) 行,选 \(4\) 作主元。
这样就把原来的矩阵通过初等变换,使得系数矩阵只有主对角线位置的元素非零,即一个对角矩阵。
上面那个矩阵的意思是
所以再把系数除过去就得到
请自行检验。
时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n^3)\)。
当然方程还可能是无解或无穷多解。
考虑一个一元一次方程 \(ax=b\) 的解的情况:
- 无解:\(a=0,b\ne0\);
- 无穷多解:\(a=b=0\);
- 唯一解:\(a\ne0\)。
- 所以当发现某一列的主元为 \(0\) 时,因为主元是最大的,所以意味着这一列全都是 \(0\),那么要么无解,要么有无穷多解。
\(\text{Code}\)
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
typedef double db;
using namespace std;
const int MAXN = 105;
int n;
db a[MAXN][MAXN];
bool Gauss_Jordan()
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int mx = i;
for (int j = i + 1; j <= n; j++)
{
if (fabs(a[j][i]) < fabs(a[mx][i]))
{
mx = j;
}
}
if (mx != i)
{
swap(a[i], a[mx]);
}
if (!a[i][i])
{
return false;
}
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
if (i != j)
{
db val = a[j][i] / a[i][i];
for (int k = i + 1; k <= n + 1; k++)
{
a[j][k] -= a[i][k] * val;
}
}
}
}
return true;
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= n + 1; j++)
{
scanf("%lf", a[i] + j);
}
}
if (Gauss_Jordan())
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
printf("%.2lf\n", a[i][n + 1] / a[i][i]);
}
}
else
{
puts("No Solution");
}
return 0;
}
关于判断无解和无穷多解
这下要具体到到底是无解还是无穷多解了。
这就是高斯-约旦的一个缺点:相比于普通高斯,它更难判断无解和无穷多解。
但是也是可以处理的。
具体地,我们用 \(r\) 来记录当前行,如果主元为 \(0\),那么 \(\operatorname{continue}\) 到下一列,但 \(r\) 不变;否则消元后令 \(r\gets r+1\)。
遍历完所有列后:
- 若 \(r=n\),说明有唯一解;
- 若 \(r<n\),说明第 \(r+1\sim n\) 行系数矩阵全都是 \(0\),若列向量全是 \(0\),说明有无穷多解,否则无解。
\(\text{Code}\)
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
typedef double db;
using namespace std;
const int MAXN = 55;
int n;
db a[MAXN][MAXN], ans[MAXN];
int Gauss_Jordan()
{
int r = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int mx = r;
for (int j = r + 1; j <= n; j++)
{
if (fabs(a[j][i]) > fabs(a[mx][i]))
{
mx = j;
}
}
if (mx != r)
{
swap(a[r], a[mx]);
}
if (!a[r][i])
{
continue;
}
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
if (j != r)
{
db val = a[j][i] / a[r][i];
for (int k = i + 1; k <= n + 1; k++)
{
a[j][k] -= a[r][k] * val;
}
}
}
r++;
}
if (--r < n)
{
for (int i = r + 1; i <= n; i++)
{
if (a[i][n + 1])
{
return -1;
}
}
return 0;
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
ans[i] = a[i][n + 1] / a[i][i];
if (!ans[i])
{
ans[i] = 0;
}
}
return 1;
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= n + 1; j++)
{
scanf("%lf", a[i] + j);
}
}
int res = Gauss_Jordan();
if (res != 1)
{
printf("%d\n", res);
}
else
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
printf("x%d=%.2lf\n", i, ans[i]);
}
}
return 0;
}