【数学】欧拉定理

定理内容

若 \(\gcd(a,m)=1\)，则 \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod p\)。

定理证明

构造一个模 \(m\) 意义下的简化剩余系：\(\{r_1,r_2,\dots,r_{\varphi(m)}\}\)。

因为 \(\gcd(a,m)=1\)，所以 \(\{ar_1,ar_2,\dots,ar_{\varphi(m)}\}\) 仍是一个模 \(m\) 意义下的简化剩余系。

\[\therefore r_1\times r_2\times\cdots\times r_{\varphi(m)}\equiv ar_1\times ar_2\times\cdots\times ar_{\varphi(m)}\pmod m\\ \prod\limits_{i=1}^{\varphi(m)}r_i\equiv a^{\varphi(m)}\times\prod\limits_{i=1}^{\varphi(m)}r_i\pmod m\\ \because \forall i,\gcd(r_i,m)=1\\ \therefore a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m \]

证毕。

容易发现当 \(m\in\mathbb{P}\) 时，\(\varphi(m)=m-1\)，上式就变成了我们熟悉的 费马小定理。