欧拉图

一. 基本概念

• 欧拉图是指通过图（无向图或有向图）中所有边且每边仅通过一次通路，相应的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图（\(Euler Graph\)），具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。（\(from\)百度百科）

• 有没有发现很像小时候玩的一笔画问题？

欧拉路分为欧拉通路和欧拉回路

欧拉通路：从一个点出发，不重复地经过每条边，从另一个点结束。

欧拉回路：从一个点出发，不重复地经过每条边，又回到该点结束。

判断方法（性质）：

• 无向图

通路：有且仅有两个点的度数为奇数，其他点的度数均为偶数。

回路：所有点的度数均为偶数。

• 有向图

通路：有一个点的出度比入度大 \(1\),另一个点的出度比入度小 \(1\)，其他点的出度与入度相等。

回路：所有点的出度与入度相等。

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二. 判断方法

判断一个图是否有欧拉通路或欧拉回路，一般用到弗勒里（\(Fleury\)）算法。该算法用 \(DFS\) 实现。（大法师又双叒叕登场了）

\({\color{Red}{Fleury 算法的核心是：除非都是桥，否则走非桥边。}}\)

\({\color{Green}{但实际上并不需要判断是不是桥，当走完某条边后不能再走时，我们将其放入栈内（不是队列！！！），当全部边都走过后再把栈内的边输出。}}\)

举个栗子

\(DFS\) 开始，从 \(1\) 号点出发，我们的遍历顺序：

\(1 \to 2 \quad 2 \to 3 \quad 3 \to 1\)

这时发现走不动了，于是我们回溯到 \(3\) 号点，栈内情况：

\(3 \to 1\)

\(3\) 号点也走不了了，回溯到 \(2\) 号点，栈内情况:

\(2 \to 3\)

\(3 \to 1\)

\(2\) 号点继续走：

\(2 \to 4 \quad 4 \to 5 \quad 5 \to 2\)

\(2\) 号点走不了了，回溯，栈内情况：

\(5 \to 2\)

\(2 \to 3\)

\(3 \to 1\)

\(5\) 号点回溯：

\(4 \to 5\)

\(5 \to 2\)

\(2 \to 3\)

\(3 \to 1\)

\(4\) 号点回溯：

\(2 \to 4\)

\(4 \to 5\)

\(5 \to 2\)

\(2 \to 3\)

\(3 \to 1\)

\(2\) 号点回溯：

\(1 \to 2\)

\(2 \to 4\)

\(4 \to 5\)

\(5 \to 2\)

\(2 \to 3\)

\(3 \to 1\)

\(1\) 号点也走不了，\(DFS\) 结束。

最终输出路径：

\(1 \to 2 \quad 2 \to 4 \quad 4 \to 5 \quad 5 \to 2 \quad 2 \to 3 \quad 3 \to 1\)

这是一条符合条件的路径。

三. 小试牛刀

Problem A: 世界人民大团结 \(\color{Red}{Special\,Judge}\)

Description

现在，世界的主题是和平与发展。社会学博士老 \(Z\) 认为，要实现和平发展，首先要实现世界人民大团结。

世界上有 \(n\) 个人。他们胸前和背后各有一个自然数，大于或等于 \(0\) 且小于或等于 \(6\)。两个身上带有某个相同数字的人把身上相同的数字合在一起，就实现了团结。比如，\((0,1)(1,2)\) 就实现了团结，而 \((0,1)(2,1)\) 和 \((0,0)(1,2)\) 都不是团结。把数合在一起的方法，是胸靠胸、背靠背、背靠胸或胸靠背。请判断世界人民能否实现大团结。如果能，请输出大团结的实现方案。

Input

第一行，一个正整数 \(n\)，表示世界上有 \(n\) 个人。
剩余 \(n\) 行，每行是用空格隔开的两个自然数，大于等于 \(0\) 且小于等于 \(6\)，第 \((i+1)\) 行表示第 \(i\) 个人胸前和背后的数字。

Output

如大团结可以实现，输出 \(n\) ，每行两个空格隔开的数字。第一个是人的编号（同输入）；第二个是“\(-\)”或“\(+\)”，“\(+\)”表示这个人胸在前，背在后，“\(-\)”反之。人们按照你输出的顺序和面对的方向从前到后站立。具体参见样例。
如大团结不能实现，输出一行“\(No\,Solution\)”（不含引号）。

Sample Input

5
1	2
2	4
2	4
6	4
2	1

Sample Output

2	-
5	+
1	+
3	+
4	-

HINT

对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \le n \le 100\)

思路

模板题，将数字看成点，人看成边，起点随便选（如最小的点）。

\(\color{Blue}{（样例没过，害得我调了半天，结果发现是Special Judge……）}\)

参考代码

#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;
 
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e2 + 5;
 
int n, cnt, s = INF;
int du[MAXN], e[MAXN][MAXN], a[MAXN], b[MAXN];
stack <int> st;
 
void dfs(int now)
{
    for (int i = 0; i <= 6; ++i)
    {
        if (e[now][i])
        {
            --e[now][i];
            --e[i][now];
            --du[now];
            --du[i];
            dfs(i);
        }
    }
    st.push(now);
}
 
void euler()
{
    int last = st.top();
    st.pop();
    while (!st.empty())
    {
        int now = st.top();
        st.pop();
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            if (a[i] == last && b[i] == now)
            {
                cout << i << " +\n";
                a[i] = -INF;
                b[i] = -INF;
                break;
            }
            else if (a[i] == now && b[i] == last)
            {
                cout << i << " -\n";
                a[i] = -INF;
                b[i] = -INF;
                break;
            }
        }
        last = now;
    }
}
 
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        cin >> a[i] >> b[i];
        ++du[a[i]];
        ++du[b[i]];
        s = min(s, min(a[i], b[i]));
        ++e[a[i]][b[i]];
        ++e[b[i]][a[i]];
    }
    for (int i = 0; i <= 6; ++i)
    {
        if (du[i] % 2)
        {
            ++cnt;
            if (cnt == 1)
            {
                s = i;
            }
        }
    }
    if (cnt != 0 && cnt != 2)
    {
        puts("No Solution");
        return 0;
    }
    dfs(s);
    for (int i = 0; i <= 6; ++i)
    {
        if (du[i])
        {
            puts("No Solution");
            return 0;
        }
    }
    euler();
    return 0;
}
/**************************************************************
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:0 ms
    Memory:2224 kb
****************************************************************/