【数学】欧几里德算法

欧几里德算法，通俗点：辗转相除法，是求两个数的 \(\gcd\) 的一种办法.

\[若 a,b 均为整数,则 \gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b). \]

证明：

当 \(a<b\) 时，\(a\bmod b=a\)，有 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\) 成立.

当 \(a\ge b\) 时，\(a\) 可表示为 \(a=bq+r\)（其中 \(q\) 是整数，\(r<b\)）.

观察这个等式：

\(\because \gcd(a,b)\mid a, \gcd(a,b)\mid b\)

\(\therefore \gcd(a,b)\mid r\)

\(\therefore \gcd(a,b)\mid b,\gcd(a,b)\mid r\)

\(\therefore \gcd(b,r)\ge\gcd(a,b)\)

同理有 \(\gcd(b,r)\mid a\)，所以 \(\gcd(a,b)\ge \gcd(b,r).\)

\(\therefore \gcd(a,b)=\gcd(b,r).\)

证毕。

体现在代码中就是可以递归求解.

边界：当 \(b=0\) 时，说明上一步的 \(b\mid a\)，则上一步的 \(\gcd(a,b)=b\)，即当前这一步的 \(a\).

\(\text{Code}\)

int gcd(int a, int b)
{
	if (!b)
	{
		return a;
	}
	return gcd(b, a % b);
}