数的概念扩展——复数
此博客仅讲述入门部分，没有复数的辐角、三角函数等部分。
零、前置知识
- 向量
一、复数的引入、定义与分类
1. 引入
从方程角度看，负实数 \(- a (a > 0)\) 没有偶次方根，其实就是方程 \(x^{2k} + a = 0 (a > 0, k\in \mathbf{Z})\) 无实根，进而归结为方程 \(x^2 + 1 = 0\) 无实根。
回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每次扩充都与实际需求密切相关。例如，为了解决正方形对角线的度量，以及 \(x^2 - 2 = 0\) 这样的方程无有理根的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。
据此，为了解决方程 \(x^2 + 1 = 0\) 无实根的问题，我们引入数 \(\text{i}\)，使得 \(x = \text{i}\) 是方程 \(x^2 + 1 = 0\) 的解，即使得 \(\text{i}^2 = 1\)。
我们希望 \(\text{i}\) 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律。
2. 定义与分类
我们定义形如 \(z = a + b\text{i}\)，其中 \(a, b\in \mathbf{R}\) 的数 \(z\) 叫做 复数（\(\text{complex number}\)）；其中 \(a\) 称为 实部（\(\text{real part}\)），记作 \(\Re(z) = a\)；\(b\) 称为 虚部（\(\text{imaginary part}\)），记作 \(\Im(z) = b\)；\(\text{i}\) 为 虚数单位。这种表示方法称为 复数的代数形式。
当 \(b = 0\) 时，\(z\) 为实数；当 \(b \ne 0\) 时，\(z\) 为 虚数（\(\text{imaginary number}\)）；当 \(a = 0, b \ne 0\) 时，\(z\) 为 纯虚数（\(\text{pure imaginary number}\)）。
全体虚数所构成的集合叫做 虚数集，记作 \(\mathbf{I}\)；全体复数所构成的集合叫做 复数集，记作 \(\mathbf{C}\)。复数集是数域。
复数域是实数域的代数闭包。
纯虚数，虚数，实数与复数之间的关系如图：
二、复数的意义与运算
1. 几何意义
我们将全体实数放入了数轴，发现实数集与数轴上的点集一一对应。考虑对复数做类似的操作。
首先定义 复数相等。两个复数 \(z_1 = a + b\text{i}, z_2 = c + d\text{i}\) 相等，等且仅当 \(a = c\) 且 \(b = d\)。
由此，我们可以用 惟一 的有序实数对 \((a, b)\) 来表示复数 \(z = a + b\text{i}\)，可以得到 复数集与平面直角坐标系上的点集一一对应。这是复数的第一种几何意义。
我们称这种平面直角坐标系为 复平面，\(x\) 轴为 实轴，\(y\) 轴为 虚轴，则 复数集与复平面内全体点所构成的集合一一对应。
联系到线性代数的知识，平面向量的坐标也可以用有序实数对 \((a, b)\) 表示。
复数 \(z = a + b\text{i}\) 对应复平面内的点 \(Z(a, b)\)，其亦对应向量 \(\overrightarrow{OZ} = (a, b)\)。于是有 复数集与复平面内的全体向量所构成的集合一一对应。这是复数的第二种几何意义。
相应地，由向量中的模来定义 复数的模：复数 \(z = a + b\text{i}\) 的模 \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)。也就是说，复数的模为复数所对应的向量的模。
通常地，我们将复数 \(z = a + b \text{i}\) 用点 \(Z\) 或向量 \(\overrightarrow{OZ}\) 来表示，并规定相等的向量表示同一个复数。
由向量不能比较大小可知，虚数不可以比较大小（实数可以）。
2. 运算法则
加法与减法
加法法则：
设 \(z_1 = a + b\text{i}, z_2 = c + d \text{i}\)，则
由 \(a, b, c, d\in \mathbf{R}\) 可得 \(a + c, b + d\in \mathbf{R}\)，故 两个复数的和仍为复数。
我们发现复数的加法法则符合向量的加法法则，进一步证明了复数几何意义的正确性。
由加法法则可得 复数的加法满足交换律和结合律，在此略去证明。
减法法则：
减法作为加法的逆运算，我们可以通过加法法则与复数相等的定义推出减法法则：
同样地，两个复数的差仍为复数。
复数的减法法则依旧符合向量的减法法则。
乘法与除法
乘法法则：
类似于多项式乘法，设 \(z_1 = a + b\text{i}, z_2 = c + d\text{i}\)，则
复数的乘法与向量的向量积形式类似，是由于复数集是数环。
易知 复数乘法满足交换律、结合律和对加法的分配律。
由于复数满足运算律，因此 实数域中的乘法公式在复数域中同样适用。
除法法则：
\((1)\)：解方程（略）；
\((2)\)：
当然前提是分母 \(c + d\text{i} \ne 0\)。
由于向量没有除法，因此不讨论与向量的关系。
3. 共轭复数
在上文复数的除法法则中，为了 分母实数化，我们在上下同乘 \((c - d\text{i})\)，这与我们在初中进行的分母有理化类似。
对于复数 \(z = a + b\text{i}\)，称复数 \(\overline{z} = a - b\text{i}\) 为 \(z\) 的 共轭复数（\(\text{conjugate complex number}\)）。即两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
可以发现，共轭复数关于实轴对称。
共轭复数的一些小性质：
第一条由平方差公式得到，用其可进行分母实数化；
第二条是关于模的性质，画个图就明白了。
三、Complex Number in OI
一个例子
FFT 中要使用到复数。
STL 中的 complex 库
万能的 STL 库中给出了 complex 库。
在使用前，我们需要引入头文件
#include <complex>
还需要 using namespace std; 或者用 std::。
声明方式
complex<T> z;
声明一个实部与虚部的类型均为 \(T\) 的复数 \(z\)，\(T\) 可为 int, double 等。
构造函数
complex<T> z(a, b);
定义一个复数 \(z = a + b\text{i}\)。可以没有第二个参数 \(b\)，此时默认 \(b = 0\)。
complex<T> (a, b)
(a, b)
构造一个实部为 \(a\)，虚部为 \(b\) 的复数，常用于赋值，如：
complex<int> z;
z = (1.14514, 0)
注意此时类型不同，会强转。
运算
一元运算符：
+（正号）和-（符号）；
二元运算符：
=, +=, -=, *=, /=运算符后的数的类型可与运算符前的数不同；+, -, *, /, ==, !=两数类型必须相同。
常用函数
-
.real()：无参数时返回复数的实部；有参数时将复数实部赋值，无返回值； -
.imag()：同real()，只不过对象变成虚部； -
abs()：返回复数的模； -
conj()：返回复数的共轭复数；
输入输出
-
使用流输入输出。复数的流输出是有序数对的形式；流输入可以只输入一个数（为实部，此时虚部默认为 \(0\)），或一个有序数对（数对也可以无第二个数，此时效果等同于只输入一个数）
-
通过
.real()和.imag()函数实现。
一个例子
// 18 = 9 + 9 = 18.
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <complex>
#define Debug(x) cout << #x << "=" << x << endl
typedef long long ll;
using namespace std;
int main()
{
complex<double> z(114.514, 1919.810);
cout << z << "\n";
z.real(3);
printf("%lf %lf\n", z.real(), abs(z));
complex<int> y = conj(z);
cout << y << "\n";
complex<int> x;
cin >> x;
printf("%d\n", x.imag());
return 0;
}
输入
(1)
输出
(114.514,1919.81)
3.000000 1919.812344
(3,-1919)
0
四、参考资料
[1] 复数. OI Wiki
[2] C++STL complex吃书使用指南 . 千叶繁华
