数的概念扩展——复数

此博客仅讲述入门部分，没有复数的辐角、三角函数等部分。

零、前置知识

• 向量

一、复数的引入、定义与分类

1. 引入

从方程角度看，负实数 $- a (a > 0)$ 没有偶次方根，其实就是方程 $x^{2k} + a = 0 (a > 0, k\in \mathbf{Z})$ 无实根，进而归结为方程 $x^2 + 1 = 0$ 无实根。

回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每次扩充都与实际需求密切相关。例如，为了解决正方形对角线的度量，以及 $x^2 - 2 = 0$ 这样的方程无有理根的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。

据此，为了解决方程 $x^2 + 1 = 0$ 无实根的问题，我们引入数 $\text{i}$，使得 $x = \text{i}$ 是方程 $x^2 + 1 = 0$ 的解，即使得 $\text{i}^2 = 1$。

我们希望 $\text{i}$ 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律。

2. 定义与分类

我们定义形如 $z = a + b\text{i}$，其中 $a, b\in \mathbf{R}$ 的数 $z$ 叫做 复数（$\text{complex number}$）；其中 $a$ 称为 实部（$\text{real part}$），记作 $\Re(z) = a$；$b$ 称为 虚部（$\text{imaginary part}$），记作 $\Im(z) = b$；$\text{i}$ 为 虚数单位。这种表示方法称为 复数的代数形式。

当 $b = 0$ 时，$z$ 为实数；当 $b \ne 0$ 时，$z$ 为 虚数（$\text{imaginary number}$）；当 $a = 0, b \ne 0$ 时，$z$ 为 纯虚数（$\text{pure imaginary number}$）。

全体虚数所构成的集合叫做 虚数集，记作 $\mathbf{I}$；全体复数所构成的集合叫做 复数集，记作 $\mathbf{C}$。复数集是数域。

复数域是实数域的代数闭包。

纯虚数，虚数，实数与复数之间的关系如图：

二、复数的意义与运算

1. 几何意义

我们将全体实数放入了数轴，发现实数集与数轴上的点集一一对应。考虑对复数做类似的操作。

首先定义 复数相等。两个复数 $z_1 = a + b\text{i}, z_2 = c + d\text{i}$ 相等，等且仅当 $a = c$ 且 $b = d$。

由此，我们可以用 惟一 的有序实数对 $(a, b)$ 来表示复数 $z = a + b\text{i}$，可以得到 复数集与平面直角坐标系上的点集一一对应。这是复数的第一种几何意义。

我们称这种平面直角坐标系为 复平面，$x$ 轴为 实轴，$y$ 轴为 虚轴，则 复数集与复平面内全体点所构成的集合一一对应。

联系到线性代数的知识，平面向量的坐标也可以用有序实数对 $(a, b)$ 表示。

复数 $z = a + b\text{i}$ 对应复平面内的点 $Z(a, b)$，其亦对应向量 $\overrightarrow{OZ} = (a, b)$。于是有 复数集与复平面内的全体向量所构成的集合一一对应。这是复数的第二种几何意义。

相应地，由向量中的模来定义 复数的模：复数 $z = a + b\text{i}$ 的模 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。也就是说，复数的模为复数所对应的向量的模。

通常地，我们将复数 $z = a + b \text{i}$ 用点 $Z$ 或向量 $\overrightarrow{OZ}$ 来表示，并规定相等的向量表示同一个复数。

由向量不能比较大小可知，虚数不可以比较大小（实数可以）。

2. 运算法则

加法与减法

加法法则：

设 $z_1 = a + b\text{i}, z_2 = c + d \text{i}$，则

$$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) \text{i}$$

由 $a, b, c, d\in \mathbf{R}$ 可得 $a + c, b + d\in \mathbf{R}$，故 两个复数的和仍为复数。

我们发现复数的加法法则符合向量的加法法则，进一步证明了复数几何意义的正确性。

由加法法则可得 复数的加法满足交换律和结合律，在此略去证明。

减法法则：

减法作为加法的逆运算，我们可以通过加法法则与复数相等的定义推出减法法则：

$$\begin{aligned} z_1 - z_2 & = z_1 + (- z_2) \\ & = (a - c) + (b - d) \text{i} \end{aligned}$$

同样地，两个复数的差仍为复数。

复数的减法法则依旧符合向量的减法法则。

乘法与除法

乘法法则：

类似于多项式乘法，设 $z_1 = a + b\text{i}, z_2 = c + d\text{i}$，则

$$\begin{aligned} z_1\cdot z_2 & = (a + b\text{i})(c + d\text{i}) \\ & = ac + ad\text{i} + bc\text{i} + bd\text{i}^2 \\ & = (ac - bd) + (ad + bc) \text{i} \end{aligned}$$

复数的乘法与向量的向量积形式类似，是由于复数集是数环。

易知 复数乘法满足交换律、结合律和对加法的分配律。

由于复数满足运算律，因此 实数域中的乘法公式在复数域中同样适用。

除法法则：

$(1)$：解方程（略）；

$(2)$：

$$\begin{aligned} \dfrac{a + b\text{i}}{c + d\text{i}} & = \dfrac{(a + b\text{i})(c - d\text{i})}{(c + d\text{i})(c - d\text{i})} \\ & = \dfrac{(ac + bd) + (bc - ad)\text{i}}{c^2 + d^2} \\ & = \dfrac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \dfrac{(bc - ad)}{c^2 + d^2} \text{i} \end{aligned}$$

当然前提是分母 $c + d\text{i} \ne 0$。

由于向量没有除法，因此不讨论与向量的关系。

3. 共轭复数

在上文复数的除法法则中，为了 分母实数化，我们在上下同乘 $(c - d\text{i})$，这与我们在初中进行的分母有理化类似。

对于复数 $z = a + b\text{i}$，称复数 $\overline{z} = a - b\text{i}$ 为 $z$ 的 共轭复数（$\text{conjugate complex number}$）。即两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。

可以发现，共轭复数关于实轴对称。

共轭复数的一些小性质：

$$(a + b\text{i}) (a - b \text{i}) = a^2 + b^2 \\ |a + b\text{i}| = |a - b\text{i}|$$

第一条由平方差公式得到，用其可进行分母实数化；

第二条是关于模的性质，画个图就明白了。

三、Complex Number in OI

一个例子

FFT 中要使用到复数。

STL 中的 complex 库

万能的 STL 库中给出了 complex 库。

在使用前，我们需要引入头文件

#include <complex>

还需要 using namespace std; 或者用 std::。

声明方式

complex<T> z;

声明一个实部与虚部的类型均为 $T$ 的复数 $z$，$T$ 可为 int, double 等。

构造函数

complex<T> z(a, b);

定义一个复数 $z = a + b\text{i}$。可以没有第二个参数 $b$，此时默认 $b = 0$。

complex<T> (a, b)
(a, b)

构造一个实部为 $a$，虚部为 $b$ 的复数，常用于赋值，如：

complex<int> z;
z = (1.14514, 0)

注意此时类型不同，会强转。

运算

一元运算符：

• +（正号）和 -（符号）；

二元运算符：

• =, +=, -=, *=, /= 运算符后的数的类型可与运算符前的数不同；
• +, -, *, /, ==, != 两数类型必须相同。

常用函数

• .real()：无参数时返回复数的实部；有参数时将复数实部赋值，无返回值；

• .imag()：同 real()，只不过对象变成虚部；

• abs()：返回复数的模；

• conj()：返回复数的共轭复数；

输入输出

1. 使用流输入输出。复数的流输出是有序数对的形式；流输入可以只输入一个数（为实部，此时虚部默认为 $0$），或一个有序数对（数对也可以无第二个数，此时效果等同于只输入一个数）

2. 通过 .real() 和 .imag() 函数实现。

一个例子

// 18 = 9 + 9 = 18.
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <complex>
#define Debug(x) cout << #x << "=" << x << endl
typedef long long ll;
using namespace std;

int main()
{
	complex<double> z(114.514, 1919.810);
	cout << z << "\n";
	z.real(3);
	printf("%lf %lf\n", z.real(), abs(z));
	complex<int> y = conj(z);
	cout << y << "\n";
	complex<int> x;
	cin >> x;
	printf("%d\n", x.imag());
	return 0;
}

输入

(1)

输出

(114.514,1919.81)
3.000000 1919.812344
(3,-1919)
0

四、参考资料

[1] 复数. OI Wiki

[2] C++STL complex吃书使用指南 . 千叶繁华