求三个字符串的最长公共子序列LCS(A,B,C)

LCS(A,B,C)!=LCS(A,LCS(B,C))

反例：

abcd

abcde

abced

LCS(B,C)求出来可能是abce或者abcd

 

dp[i][j][k]表示A[0...i],B[0...j],C[0...k]的LCS

转移方程：

if (a[i]==b[j]&&b[j]==c[k])
dp[i][j][k]=dp[i-1][j-1][k-1]+1;
else
dp[i][j][k]=max(max(dp[i][j][k], dp[i-1][j][k]), max(dp[i][j-1][k], dp[i][j][k-1]));

证明：

1）优化子结构：

当a[i]=b[j]=c[k]时，设z[x]!=a[i]，则可加a[i]到Z，得到一个长为x+1的公共序列，与Z[x]是LCS矛盾，于是z[x]=a[i]=b[j]=c[k]

现在证明z[x-1]是A[i-1]B[j-1]C[k-1]的LCS。

假设不是，则存在A[i-1]B[j-1]C[k-1]的公共子序列W，W的长度大于x-1，增加a[i]到W，我们得到一个长度大于x的A[i]B[j]C[k]的公共子序列，与Z[x]是LCS矛盾。

于是，z[x-1]是A[i-1]B[j-1]C[k-1]的LCS。

 

当a[i],b[j],c[k]不相等时，LCS[i][j][k]肯定是LCS[i-1][j][k],LCS[i][j-1][k],LCS[i][j][k-1]中最大的一个。

证明z[x]是LCS同上。

 

2）重叠子问题：

显然有子问题重叠性。