堆排序（完全二叉树）最后一个非叶子节点的序号是n/2-1的原因

堆排序是基于完全二叉树实现的，在将一个数组调整成一个堆的时候，关键之一的是确定最后一个非叶子节点的序号，这个序号为n/2-1，n为数组的长度。但是为什么呢？

可以分两种情形考虑：

①堆的最后一个非叶子节点若只有左孩子

②堆的最后一个非叶子节点有左右两个孩子

完全二叉树的性质之一是：如果节点序号为i，在它的左孩子序号为2*i+1，右孩子序号为2*i+2。

 

对于①左孩子的序号为n-1，则n-1=2*i-1，推出i=n/2-1；

 

对于②左孩子的序号为n-2，在n-2=2*i-1，推出i=(n-1)/2-1；右孩子的序号为n-1，则n-1=2*i+2，推出i=(n-1)/2-1；

很显然，当完全二叉树最后一个节点是其父节点的左孩子时，树的节点数为偶数；当完全二叉树最后一个节点是其父节点的右孩子时，树的节点数为奇数。

根据java语法的特征，整数除不尽时向下取整，则若n为奇数时(n-1)/2-1=n/2-1。

因此对于②最后一个非叶子节点的序号也是n/2-1。

得证。

显然序号是从0开始的。

为了得到而努力

2019-03-16

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