激活函数(ReLU, Swish, Maxout)

神经网络中使用激活函数来加入非线性因素，提高模型的表达能力。
持续更新：update@2022.7 添加GELU、GLU等激活函数。

ReLU(Rectified Linear Unit,修正线性单元)

形式如下:

\[\begin{equation} f(x)= \begin{cases} 0, & {x\leq 0} \\\\ x, & {x\gt 0} \end{cases} \end{equation} \]

ReLU公式近似推导::

\[\begin{align} f(x) &=\sum_{i=1}^{\inf}\sigma(x-i+0.5) &\text{(stepped sigmoid)} \\\\ &\approx\log(1+e^x) &\text{(softplus function)} \\\\ &\approx\max(0,x+N(0,1)) &\text{(ReL function)} \\\\ 其中\sigma(z) &={1\over 1+e^{-z}} &\text{(sigmoid)} \end{align} \]

下面解释上述公式中的softplus,Noisy ReLU.

softplus函数与ReLU函数接近,但比较平滑, 同ReLU一样是单边抑制,有宽广的接受域(0,+inf), 但是由于指数运算,对数运算计算量大的原因,而不太被人使用.并且从一些人的使用经验来看(Glorot et al.(2011a)),效果也并不比ReLU好.
softplus的导数恰好是sigmoid函数.softplus 函数图像:

Noisy ReLU^[1]
ReLU可以被扩展以包括高斯噪声(Gaussian noise):
\(f(x)=\max(0,x+Y), Y\sim N(0,\sigma(x))\)
Noisy ReLU 在受限玻尔兹曼机解决计算机视觉任务中得到应用.

ReLU上界设置: ReLU相比sigmoid和tanh的一个缺点是没有对上界设限.在实际使用中,可以设置一个上限,如ReLU6经验函数: \(f(x)=\min(6,\max(0,x))\). 参考这个上限的来源论文: Convolutional Deep Belief Networks on CIFAR-10. A. Krizhevsky

ReLU的稀疏性（摘自这里）：

当前，深度学习一个明确的目标是从数据变量中解离出关键因子。原始数据（以自然数据为主）中通常缠绕着高度密集的特征。然而，如果能够解开特征间缠绕的复杂关系，转换为稀疏特征，那么特征就有了鲁棒性（去掉了无关的噪声）。稀疏特征并不需要网络具有很强的处理线性不可分机制。那么在深度网络中，对非线性的依赖程度就可以缩一缩。一旦神经元与神经元之间改为线性激活，网络的非线性部分仅仅来自于神经元部分选择性激活。
对比大脑工作的95%稀疏性来看，现有的计算神经网络和生物神经网络还是有很大差距的。庆幸的是，ReLu只有负值才会被稀疏掉，即引入的稀疏性是可以训练调节的，是动态变化的。只要进行梯度训练，网络可以向误差减少的方向，自动调控稀疏比率，保证激活链上存在着合理数量的非零值。

ReLU 缺点

• 坏死: ReLU 强制的稀疏处理会减少模型的有效容量（即特征屏蔽太多，导致模型无法学习到有效特征）。由于ReLU在x < 0时梯度为0，这样就导致负的梯度在这个ReLU被置零，而且这个神经元有可能再也不会被任何数据激活，称为神经元“坏死”。
• 无负值: ReLU和sigmoid的一个相同点是结果是正值，没有负值.

ReLU变种

Leaky ReLU

当\(x<0\)时,\(f(x)=\alpha x\),其中\(\alpha\)非常小,这样可以避免在\(x<0\)时,不能够学习的情况：

\[f(x)=\max(\alpha x,x) \]

称为Parametric Rectifier(PReLU),将 \(\alpha\) 作为可学习的参数.

当 \(\alpha\) 从高斯分布中随机产生时称为Random Rectifier（RReLU）。

当固定为\(\alpha=0.01\)时,是Leaky ReLU。

优点:

• 不会过拟合(saturate)
• 计算简单有效
• 比sigmoid/tanh收敛快

指数线性单元ELU

\[\begin{equation} f(x)= \begin{cases} \alpha(e^x-1), & \text{$x\leq 0$} \\ x, & \text{$x\gt 0$} \end{cases} \end{equation} \]

\[\begin{equation} f'(x)= \begin{cases} f(x)+\alpha, & \text{$x\leq 0$} \\ 1, & \text{$x\gt 0$} \end{cases} \end{equation} \]

exponential linear unit， 该激活函数由Djork等人提出,被证实有较高的噪声鲁棒性,同时能够使得使得神经元
的平均激活均值趋近为 0,同时对噪声更具有鲁棒性。由于需要计算指数,计算量较大。
ReLU family:

Leaky ReLU \(\alpha\)是固定的;PReLU的\(\alpha\)不是固定的,通过训练得到;RReLU的\(\alpha\)是从一个高斯分布中随机产生,并且在测试时为固定值，与Noisy ReLU类似（但是区间正好相反）。

ReLU系列对比：

SELU

论文: 自归一化神经网络(Self-Normalizing Neural Networks)中提出只需要把激活函数换成SELU就能使得输入在经过一定层数之后变成固定的分布. 参考对这篇论文的讨论.

SELU是给ELU乘上系数 \(\lambda\), 即 \(\rm{SELU}(x)=\lambda\cdot \rm{ELU}(x)\)

\[f(x)=\lambda \begin{cases} \alpha(e^x-1) & x \le 0 \\ x & x>0 \end{cases} \]

Swish

paper Searching for Activation functions(Prajit Ramachandran,Google Brain 2017)

\[f(x) = x · \text{sigmoid}(βx) \]

β是个常数或可训练的参数.Swish 具备无上界有下界、平滑、非单调的特性。
Swish 在深层模型上的效果优于 ReLU。例如，仅仅使用 Swish 单元替换 ReLU 就能把 Mobile NASNetA 在 ImageNet 上的 top-1 分类准确率提高 0.9%，Inception-ResNet-v 的分类准确率提高 0.6%。

导数:

当β = 0时,Swish变为线性函数\(f(x) ={x\over 2}\).
β → ∞, $ σ(x) = (1 + \exp(−x))^{−1} $为0或1. Swish变为ReLU: f(x)=2max(0,x)
所以Swish函数可以看做是介于线性函数与ReLU函数之间的平滑函数.

工程实现:
在TensorFlow框架中只需一行代码: x * tf.sigmoid(beta * x)或tf.nn.swish(x).
在Caffe中使用Scale+Sigmoid+EltWise(PROD)来实现或者合并成一个层. 代码参考.

GELU

GELU（高斯误差线性单元）是一个非初等函数形式的激活函数，是RELU的变种。由16年论文 Gaussian Error Linear Units (GELUs) 提出，随后被GPT-2、BERT、RoBERTa、ALBERT 等NLP模型所采用。论文中不仅提出了GELU的精确形式，还给出了两个初等函数的近似形式。函数曲线如下：

RELU及其变种与Dropout从两个独立的方面来决定网络的输出，有没有什么比较中庸的方法把两者合二为一呢？在网络正则化方面，Dropout将神经单元输出随机置0（乘0），Zoneout将RNN的单元随机跳过（乘1）。两者均是将输出乘上了服从伯努利分布的随机变量m ~ Bernoulli(p)，其中p是指定的确定的参数，表示取1的概率。

然而激活函数由于在训练和测试时使用方式完全相同，所以是需要有确定性的输出，不能直接对输入x乘随机变量m，这点与Dropout不同（Dropout在测试时并不随机置0）。由于概率分布的数学期望是确定值，因此可以改为求输出的期望：\(E[mx]=xE[m]\)，即对输入乘上伯努利分布的期望值\(p=E[m]\)。

论文中希望p能够随着输入x的不同而不同，在x较小时以较大概率将其置0。 由于神经元的输入通常服从正态分布，尤其是在加入了Batch Normalization的网络中，因此令p等于正态分布的累积分布函数即可满足。

正态分布的概率密度函数：\(f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\)，累积分布函数：\(F(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \exp \left( -\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2} \ \right)\, dt\). 正态分布的累积分布函数曲线与sigmoid曲线相似。

标准正态分布：\(X\sim \mathcal N(0,1)\)，标准正态分布的累积分布函数习惯上记为\(\Phi\)，\(\Phi(x)=P(X\le x)\).

因此GELU采用的激活函数为 \(g(x)=x\cdot p=x\Phi(x)\)

\[\begin{align} \Phi(x) =& \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right) \, dt \\ =& {1\over 2} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^x \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right) \, dt \tag{正态分布曲线下面积为1，一半则为0.5} \\ =& {1\over 2}\left(1 + \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x \exp\left(-({t\over \sqrt 2})^2\right) \, {dt\over \sqrt 2}\right) \\ =& {1\over 2}\left(1 + \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{x\over\sqrt 2} \exp\left(-z^2\right) \, dz\right) \\ =& {1\over 2}\left(1+\rm{erf}\left({x\over \sqrt 2}\right)\right) \end{align} \]

其中的变换包含这个等式： \({1\over n}\int_0^x f(t/n)dt=\int_0^{x/n}f(t)dt\)，将x看作一个固定值，则不难理解。

在数学中，误差函数（也称之为高斯误差函数）定义如下：

\[{\operatorname {erf} (x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-x}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t} \]

erf(x) 与 tanh(x) 比较接近，与 \(2\left(\sigma(x)-\frac{1}{2}\right)\) 也有相似的曲线，但是相对差别较大一些。在代码实现中可以用近似函数来拟合erf(x)。论文给出的两个近似如下：

\[\begin{align} x\Phi(x) &\approx x\sigma(1.702 x) \\ x\Phi(x) &\approx \frac{1}{2} x \left[1 + \tanh\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}\left(x + 0.044715 x^3\right)\right)\right] \end{align} \]

不过很多框架已经有精确的erf计算函数了，可以直接使用，参考代码如下：

# BERT、GPT-2 的旧式 GELU 实现
def gelu(x):
    return x * 0.5 * (1 + tf.tanh(np.sqrt(2/np.pi)*(x+0.044715*tf.pow(x,3))))
# 使用erf函数的 GELU 实现
def gelu(x):
    cdf = 0.5 * (1.0 + tf.erf(x / tf.sqrt(2.0)))
    return x * cdf

GELU vs Swish

GELU 与 Swish 激活函数（x · σ(βx)）的函数形式和性质非常相像，一个是固定系数 1.702，另一个是可变系数 β（可以是可训练的参数，也可以是通过搜索来确定的常数），两者的实际应用表现也相差不大。

参考：

• GELU的两个初等函数近似是怎么来的
• GELU activation
• What is GELU activation?

GLU(Gated Linear Unit)及其变种

GLU （Gated Linear Unit）函数形式如下（忽略bias项的书写）：

\[\begin{align} \text{GLU}\left(a, b\right) &= a\odot \sigma\left(b\right) \\ \text{GLU}(x,W,V) &= \sigma(xW) \odot xV \\ \end{align} \]

GLU通过门控机制对输出进行把控，像Attention一样可看作是对重要特征的选择。其优势是不仅具有通用激活函数的非线性，而且反向传播梯度时具有线性通道，类似ResNet残差网络中的加和操作传递梯度，能够缓解梯度消失问题。

为什么？对比下sigmoid 及 LSTM中使用的 gated tanh unit (GTU) 的梯度：

\[\begin{align} \nabla[\tanh (\mathbf{X}) \odot \sigma(\mathbf{X})] &=\tanh ^{\prime}(\mathbf{X}) \nabla \mathbf{X} \odot \sigma(\mathbf{X}) +\sigma^{\prime}(\mathbf{X}) \nabla \mathbf{X} \odot \tanh (\mathbf{X}) \tag{LSTM} \\ ∇[σ(X)] &= ∇X \odot σ'(X) = ∇X \odot σ(X)(1-σ(X)) \tag{sigmoid} \\ ∇[X \odot σ(X)] &= ∇X \odot σ(X) + X \odot σ'(X) \tag{GLU} \\ \end{align} \]

由于 sigmoid和tanh的导数会downscaling，导致梯度消失问题。而GLU相比sigmoid多出一个线性乘积项，梯度中的\(∇X \odot σ(X)\) 不会对 σ(X) downscaling，因此能够加速收敛。

GEGLU 是 GLU （Gated Linear Unit）激活函数的变体，源自 GLU Variants Improve Transformer （Google, 2020），将GLU中的sigmoid替换为GELU，函数形式如下（忽略bias项的书写）：

\[\begin{align} \text{GLU}(x,W,V) &= \sigma(xW) \odot xV \tag{$\text{GLU}\left(a, b\right) = a\odot \sigma\left(b\right)$} \\ \text{GELU}(x) &= x\cdot \Phi(x)=x\cdot {1\over 2}\left(1+\rm{erf}\left({x\over \sqrt 2}\right)\right) \\ \text{GEGLU}\left(x, W, V\right) &= \text{GELU}\left(xW\right) \odot xV \end{align} \]

Google的T5 Transformer模型中对Feed-Forward Network采用了GEGLU，性能提升比较显著。

除了用GELU替代GLU中的sigmoid外，还可用ReLU、Swish等，甚至取消其中的激活函数（Bilinear(x, W, V) = xW · xV），但是这些变体相比GLU差异不是特别显著。

Maxout

论文Maxout Networks(Goodfellow,ICML2013)

Maxout可以看做是在深度学习网络中加入一层激活函数层,包含一个参数k.这一层相比ReLU,sigmoid等,其特殊之处在于增加了k个神经元,然后输出激活值最大的值.

我们常见的隐含层节点输出：

\[h_i(x)=\text{sigmoid}(x^TW_{…i}+b_i) \]

而在Maxout网络中，其隐含层节点的输出表达式为：

\[h_i(x)=\max_{j\in[1,k]}z_{ij} \]

其中\(z_{ij}=x^TW_{…ij}+b_{ij}, W\in R^{d\times m\times k}\)

以如下最简单的多层感知器(MLP)为例:

图片来源:slides

假设网络第i层有2个神经元x1、x2，第i+1层的神经元个数为1个.原本只有一层参数,将ReLU或sigmoid等激活函数替换掉,引入Maxout,将变成两层参数,参数个数增为k倍.

优点：

• Maxout的拟合能力非常强，可以拟合任意的凸函数。
• Maxout具有ReLU的所有优点，线性、不饱和性。
• 同时没有ReLU的一些缺点。如：神经元的死亡。

缺点：
从上面的激活函数公式中可以看出，每个神经元中有两组(w,b)参数，那么参数量就增加了一倍，这就导致了整体参数的数量激增。

Maxout激活函数

与常规激活函数不同的是,它是一个可学习的分段线性函数.

然而任何一个凸函数，都可以由线性分段函数进行逼近近似。其实我们可以把以前所学到的激活函数：ReLU、abs激活函数，看成是分成两段的线性函数，如下示意图所示：

实验结果表明Maxout与Dropout组合使用可以发挥比较好的效果。

那么,前边的两种ReLU便是两种Maxout,函数图像为两条直线的拼接,\(f(x)=\max(w_1^Tx+b_1,w_2^Tx+b_2)\).

sigmoid & tanh

sigmoid/logistic 激活函数:

\[\sigma(x) ={1\over 1+e^{-x}} \]

tanh 函数是sigmoid函数的一种变体，以0点为中心。取值范围为 [-1,1] ，而不是sigmoid函数的 [0,1] 。

\[\tanh(x) ={e^x-e^{-x}\over e^x+e^{-x}} \]

tanh 是对 sigmoid 的平移和收缩: \(\tanh \left( x \right) = 2 \cdot \sigma \left( 2 x \right) - 1\).
你可能会想平移使得曲线以0点为中心,那么为什么还要收缩呢? 如果不拉伸或收缩得到 \(f(x)={e^x-1\over e^x+1}\) 不行吗? 我猜想是因为 tanh 更加著名吧。

那么 tanh 这个双曲正切函数与三角函数 tan 之间是什么关系呢?

在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数 sinh 和双曲余弦函数 cosh ，从它们可以导出双曲正切函数 tanh 等，其推导也类似于三角函数的推导。^[2]
根据欧拉公式: \(e^{ix} = \cos x + i\cdot\sin x\) (其中i是虚数\(\sqrt{-1}\)) 有^[3],

\[e^{-ix} = \cos x - i\cdot\sin x \\ \sin x=(e^{ix} - e^{-ix})/(2i) \\ \cos x=(e^{ix} + e^{-ix})/2 \\ \tan\ x=\tanh(ix)/i \\ \tanh(ix)=i\tan\ x \]

hard tanh 限界: g(z) = max(-1, min(1,z))

sigmoid & tanh 函数图像如下:

sigmoid作激活函数的优缺点

历史上很流行(Historically popular since they have nice interpretation as a saturating “firing rate” of a neuron),梯度计算较为方便:

\[\nabla\sigma = {e^{-x}\over(1+e^{-x})^2}=({1+e^{-x}-1\over 1+e^{-x}})({1\over 1+e^{-x}})= \sigma(x)(1-\sigma(x)) \]

优势是能够控制数值的幅度,在深层网络中可以保持数据幅度不会出现大的变化;而ReLU不会对数据的幅度做约束.

存在三个问题:

1. 饱和的神经元会"杀死"梯度,指离中心点较远的x处的导数接近于0,停止反向传播的学习过程.
2. sigmoid的输出不是以0为中心,而是0.5,这样在求权重w的梯度时,梯度总是正或负的.
3. 指数计算耗时

为什么tanh相比sigmoid收敛更快:

1. 梯度消失问题程度
   \(\tanh'( x ) = 1-\tanh( x )^2 \in (0,1)\)
   \(\text{sigmoid: } s'(x)=s(x)\times(1-s(x))\in(0,1/4)\)
   可以看出tanh(x)的梯度消失问题比sigmoid要轻.梯度如果过早消失,收敛速度较慢.
2. 以零为中心的影响
   如果当前参数(w0,w1)的最佳优化方向是(+d0, -d1),则根据反向传播计算公式,我们希望 x0 和 x1 符号相反。但是如果上一级神经元采用 Sigmoid 函数作为激活函数，sigmoid不以0为中心，输出值恒为正，那么我们无法进行最快的参数更新，而是走 Z 字形逼近最优解。^[4]

激活函数的作用

1. 加入非线性因素
2. 充分组合特征

下面说明一下为什么有组合特征的作用.

一般函数都可以通过泰勒展开式来近似计算, 如sigmoid激活函数中的指数项可以通过如下的泰勒展开来近似计算:

\[e^z=1+{1\over 1!}z+{1\over 2!}z^2+{1\over 3!}z^3+o(z^3) \]

其中有平方项,立方项及更更高项, 而 \(z=wx+b\), 因此可以看作是输入特征 x 的组合. 以前需要由领域专家知识进行特征组合,现在激活函数能起到一种类似特征组合的作用. (思想来源: 微博@算法组)

为什么ReLU,Maxout等能够提供网络的非线性建模能力？它们看起来是分段线性函数，然而并不满足完整的线性要求：加法f(x+y)=f(x)+f(y)和乘法f(ax)=a×f(x)或者写作\(f(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha f(x_1)+\beta f(x_2)\)。非线性意味着得到的输出不可能由输入的线性组合重新得到（重现）。假如网络中不使用非线性激活函数，那么这个网络可以被一个单层感知器代替得到相同的输出，因为线性层加起来后还是线性的，可以被另一个线性函数替代。

梯度消失与梯度爆炸

梯度消失/爆炸原因及解决办法

原因,浅层的梯度计算需要后面各层的权重及激活函数导数的乘积,因此可能出现前层比后层的学习率小(vanishing gradient)或大(exploding)的问题,所以具有不稳定性.那么如何解决呢?

需要考虑几个方面:

• 权重初始化
  使用合适的方式初始化权重, 如ReLU使用MSRA的初始化方式, tanh使用xavier初始化方式.
• 激活函数选择
  激活函数要选择ReLU等梯度累乘稳定的.
• 学习率
  一种训练优化方式是对输入做白化操作(包括正规化和去相关), 目的是可以选择更大的学习率. 现代深度学习网络中常使用Batch Normalization(包括正规化步骤,但不含去相关). (All you need is a good init. If you can't find the good init, use Batch Normalization.)

由于梯度的公式包含每层激励的导数以及权重的乘积,因此让中间层的乘积约等于1即可.但是sigmoid这种函数的导数值又与权重有关系(最大值1/4,两边对称下降),所以含有sigmoid的神经网络不容易解决,输出层的activation大部分饱和,因此不建议使用sigmoid.
ReLU在自变量大于0时导数为1,小于0时导数为0,因此可以解决上述问题.

梯度爆炸
由于sigmoid,ReLU等函数的梯度都在[0,1]以内，所以不会引发梯度爆炸问题。 而梯度爆炸需要采用梯度裁剪、BN、设置较小学习率等方式解决。

激活函数选择

1. 首先尝试ReLU,速度快,但要注意训练的状态.
2. 如果ReLU效果欠佳,尝试Leaky ReLU或Maxout等变种。
3. 尝试tanh正切函数(以零点为中心,零点处梯度为1)
4. sigmoid/tanh在RNN（LSTM、注意力机制等）结构中有所应用，作为门控或者概率值.
5. 在浅层神经网络中，如不超过4层的，可选择使用多种激励函数，没有太大的影响。

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1. https://en.wikipedia.org/wiki/Rectifier_(neural_networks) ↩︎

2. https://zh.wikipedia.org/wiki/双曲函数 ↩︎

3. http://mathforum.org/library/drmath/view/54179.html ↩︎

4. 谈谈激活函数以零为中心的问题 https://liam0205.me/2018/04/17/zero-centered-active-function/ ↩︎