二阶行列式逆矩阵公式推导

目录

• 定理
• 什么是行列式
• 逆矩阵公式推导
• 二阶逆矩阵公式

定理

已知矩阵$A= \begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}$，当且仅当$(ad-bc)不为零$时矩阵A可逆
此时A的逆矩阵$A^{-1}$为

$$\begin{aligned} A^{-1} &= \begin{bmatrix}\color{green}{p_1} & \color{red}{p_2} \\ \color{blue}{p_3} & p_4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}\color{green}{\frac{d}{ad-bc}} & \color{red}{\frac{-b}{ad-bc}} \\ \color{blue}{\frac{-c}{ad-bc}} & \frac{a}{ad-bc} \end{bmatrix} \end{aligned}$$

什么是行列式

1. 行列式是一个数，二阶行列式D=ad-bc，（只适用于二阶：主对角线的乘积，减去副对角线的乘积）

逆矩阵公式推导

已知矩阵$A= \begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}$，问为什么$（ad-bc==0）$ 行列式为零时没有逆矩阵？
证明：

1. 设A的逆矩阵为$A^{-1}= \begin{bmatrix}p_1 & p_2 \\p_3 & p_4 \end{bmatrix}$
2. 根据逆矩阵性质$A*A^{-1}=E$,E是单位矩阵，$E= \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}$
   $A*A^{-1}\\= \begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}*\begin{bmatrix}p_1 & \color{red}{p_2} \\p_3 & p_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}$
   用矩阵乘法可以得出下列方程组

$$\left\{ \begin{aligned} a*p_1 + b*p_3 &= 1 \ \ \ ① \\ a* \color{red}{p_2} +b*p_4 &= 0 \ \ \ ② \\ c*p_1+d*p_3 &= 0 \ \ \ ③ \\ c*\color{red}{p_2}+d*p_4 &=1 \ \ \ ④ \end{aligned} \right.$$

3. 用②和④消去$p_4$后，观察$p_2$受什么控制
   ②乘上$d$得到，$a*d*p_2 + \color{green}{b*d*p_4} = 0 \ \ \ ⑤$
   ④乘上$b$得到，$c*b*p_2 + \color{green}{b*d*p_4} = b \ \ \ ⑥$
   最后再用⑤减去⑥消去$p_4$，得到

$$\begin{aligned} a*d*\color{red}{p_2} - c*b*\color{red}{p_2} &= -b \\ \color{red}{p_2}*（a*d-c*b） &= -b \\ \color{red}{p_2} &= \frac{-b}{\color{green}{(a*d-c*b)}} \ \ \ \ \ \ \ 【分母恰好是行列式的值】 \end{aligned}$$

4. 分母不为零的时候$p_2$才成立，可以看到$p_2$受到行列式控制
   即，行列式不为零的时候才有解.

二阶逆矩阵公式

$$\begin{aligned} A^{-1} &= \begin{bmatrix}\color{green}{p_1} & \color{red}{p_2} \\ \color{blue}{p_3} & p_4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}\color{green}{\frac{d}{ad-bc}} & \color{red}{\frac{-b}{ad-bc}} \\ \color{blue}{\frac{-c}{ad-bc}} & \frac{a}{ad-bc} \end{bmatrix} \\ &= 记法：1. 交换了a和d，2. 副对角线有负号，3. 都除以行列式的值 \end{aligned}$$