二阶行列式逆矩阵公式推导
定理
已知矩阵\(A= \begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}\)，当且仅当\((ad-bc)不为零\)时矩阵A可逆
此时A的逆矩阵\(A^{-1}\)为
\[\begin{aligned}
A^{-1} &= \begin{bmatrix}\color{green}{p_1} & \color{red}{p_2} \\ \color{blue}{p_3} & p_4 \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}\color{green}{\frac{d}{ad-bc}} & \color{red}{\frac{-b}{ad-bc}} \\ \color{blue}{\frac{-c}{ad-bc}} & \frac{a}{ad-bc} \end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
什么是行列式
- 行列式是一个数，二阶行列式D=ad-bc，（只适用于二阶：主对角线的乘积，减去副对角线的乘积）
逆矩阵公式推导
已知矩阵\(A= \begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}\)，问为什么\(（ad-bc==0）\)
证明：
- 设A的逆矩阵为\(A^{-1}= \begin{bmatrix}p_1 & p_2 \\p_3 & p_4 \end{bmatrix}\)
- 根据逆矩阵性质\(A*A^{-1}=E\),E是单位矩阵，\(E= \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}\)
\(A*A^{-1}\\= \begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}*\begin{bmatrix}p_1 & \color{red}{p_2} \\p_3 & p_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}\)
用矩阵乘法可以得出下列方程组
\[\left\{
\begin{aligned}
a*p_1 + b*p_3 &= 1 \ \ \ ① \\
a* \color{red}{p_2} +b*p_4 &= 0 \ \ \ ② \\
c*p_1+d*p_3 &= 0 \ \ \ ③ \\
c*\color{red}{p_2}+d*p_4 &=1 \ \ \ ④
\end{aligned}
\right.
\]
- 用②和④消去\(p_4\)后，观察\(p_2\)受什么控制
②乘上\(d\)得到，\(a*d*p_2 + \color{green}{b*d*p_4} = 0 \ \ \ ⑤\)
④乘上\(b\)得到，\(c*b*p_2 + \color{green}{b*d*p_4} = b \ \ \ ⑥\)
最后再用⑤减去⑥消去\(p_4\)，得到
\[\begin{aligned}
a*d*\color{red}{p_2} - c*b*\color{red}{p_2} &= -b \\
\color{red}{p_2}*（a*d-c*b） &= -b \\
\color{red}{p_2} &= \frac{-b}{\color{green}{(a*d-c*b)}} \ \ \ \ \ \ \ 【分母恰好是行列式的值】
\end{aligned}
\]
- 分母不为零的时候\(p_2\)才成立，可以看到\(p_2\)受到行列式控制
即，行列式不为零的时候才有解.
二阶逆矩阵公式
\[\begin{aligned}
A^{-1} &= \begin{bmatrix}\color{green}{p_1} & \color{red}{p_2} \\ \color{blue}{p_3} & p_4 \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}\color{green}{\frac{d}{ad-bc}} & \color{red}{\frac{-b}{ad-bc}} \\ \color{blue}{\frac{-c}{ad-bc}} & \frac{a}{ad-bc} \end{bmatrix} \\
&= 记法：1. 交换了a和d，2. 副对角线有负号，3. 都除以行列式的值
\end{aligned}
\]
