0004灰度变换是空间域的图像增强方法(冈萨雷斯第三章)
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灰度变换
- 针对输入图像src的像素进行变换，不改变该像素的位置
s = T(r)s是新图上的像素，r是旧图上的像素，T是映射函数
灰度变换函数分为两种（线性变换和非线性变换）
线性变换
- 线性变换公式：
s = Ar + B
- 分段线性变换
- 通俗讲就是：不同像素区间用不同的变换函数，比如
r=[0到100]用T1(r)进行变换，r=[101到200]用T2(r)变换，需要针对图像进行设计分段函数
比如：有一张图片src640x480，这张图片的左下角的100x100有比较多我想看的细节，但是左下角像素都集中在0到50之间，于是我们就可以只针对0到50设计拉伸函数T(r=[0-50])
缺点是：
1.非左下角的[0到50]像素也T函数被拉伸了。
2. 每一张图都要重新设计T函数
非线性变换
非线性变换：对数变换（适合比较暗的图像）
- 注意：伽马(幂变换)曲线是可变的，而对数函数的形状是固定的
- 公式为：
s = c * log(1+r)
从如下图中我们可以看到，比较暗的像素(如0到50)变换后的s动态范围非常宽，相反比较亮的像素(如200到256)变换后s动态范围几乎没什么变化
因此对数变换跟适合暗的图像，幂次变换刚好返过来。（对数可以化成指数形式，高中知识\(a^b=N, log_aN=b\)）
术语就是：对数变换适用于把窄带低灰度src图转化为宽带dst图，如下图左边是很暗的原图的傅里叶图像，经过对数变换后得到右边的新图
- 应用
- 对数变换用于压缩动态范围，如果原始动态范围太高，比如在[0,10^6]的范围里，可以考虑对数变换压小动态范围
在傅里叶变换里有用到，输入像素r，输出新像素值在[0,10^6]的情况并不少见，显示如果只有0到255肯定要压缩啦，通常为了显示方便傅里叶频谱都会做一个对数变换的操作
- 问题:
- 为什么
s = c * log(1+r)要加上1呢？
答：为了放置出现正无穷和负无穷的情况
- 为什么
非线性变换：幂次变换（适合比较亮的图像）
- 公式为：
s = c * r^y，y是伽马，y大于1和y小于1时生成的曲线正好相反,c和y都是常数，函数图像过(1,1)这点
因此图像太亮或太暗都可以用幂次变换，只不过是伽马值y选大于1还是小于1的问题
应用：- 对比度增强，书上脊柱核磁共振那张图，图像非常亮可以考虑把y伽马值增大
- 老旧的阴极射线管电视颜色校正
非线性变换：对比度拉伸变换
-
公式：
s = T(r) = 1 / [1+(m/r)^E]用m控制s的输出值，E控制函数斜率
一般来说要E要大于7，对比度拉伸函数才会有比较美的S形图像 -
在冈萨雷斯第四版132页,pdf第147页的习题3.2(a)中要求构造一个连续的对比度拉伸函数
答案里是使用: \(e^{-ar^2}\)这个s形的函数,
非线性变换：直方图均衡
- 用
累积分布函数作为T映射函数，可以把直方图拉伸成矮胖直方图- 像素
k的累积分布函数公式：\(Func_k=\sum_{i=0}^{k} {i 像素出现的概率}\)
每一个像素对应一个累积分布函数值，因此每个像素都有一个T映射函数- 得到像素\(r\)的映射函数\(T(r)=(255-0)*Func_r=255*(\sum_{i=0}^{r}{像素r出现的概率})\)
原则上单调增不会出现不同像素\(r1\)和\(r2\)映射到同一个\(s1\)的情况，\(s1=T(r1)=T(r2)\)，但是我们一般会取整数
- 得到像素\(r\)的映射函数\(T(r)=(255-0)*Func_r=255*(\sum_{i=0}^{r}{像素r出现的概率})\)
- 累积分布函数性质：
- 累积分布函数值域在\([0,1]\)之间，可以保证映射后像素值还在\([0,255]\)以内
- 累积分布函数是单调递增的，
如果有像素A和B，并且A比B亮,可以保证映射后的sA=T(A)依旧比sB=T(B)亮
如果有像素A和B，并且A比B暗,可以保证映射后的sA=T(A)依旧比sB=T(B)暗
- 像素
- 优点：
- 是无参数的改善对比度算法，免去了根据图像调的过程
- 处理后像素值几乎均匀分布
- 问题：
- 离散型由于取整，导致出现多对一的映射关系。比如把像素128和像素130映射后得到
T(120)=131.25，T(125)=131.94，由于我们取整，得到两个都是131，这就使得图像不平坦。 - 直方图均衡只能使用一次，多了也没什么效果
- 直方图均衡可以通过直方图匹配（直方图规定化）来实现，matlab里就是这样的。
- 离散型由于取整，导致出现多对一的映射关系。比如把像素128和像素130映射后得到
非线性变换：直方图规定化（课程视频里没讲）
- 什么是直方图规定化？
- 就是人为规定生成的新图的直方图长什么样。即：已知原图，原图直方图和新图直方图，如何求出新图各个像素点（新图未知）？
- 如何生成一个我想要的新直方图，比如一个如下图的双峰的直方图（双峰对比度高）?
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