COCI2014-2015CONTEST#7——POLICE
http://www.hsin.hr/coci/archive/2014_2015/contest7_tasks.pdf
【题目描述】
有N个书架,每个书架可以容纳M本书。给出了若干本书,每本书有一个正整数的唯一编号,且编号不超过N*M。 给出了初始时各个书架里面的书的编号,即给出二维数组S[1..N][1..M]。设S[i][j]=k,表示的意义是第i个书架的第j个格子放的那本书的编号是k。如果k等于0则说明该格子没有书,是空的。一个格子最多只能放一本书。再给出二维数组T[1..N][1..M],表示最终你需要把这些书经过移动之后达到的目的。你移动书的过程需要满足如下两个条件:
1、你可以把某一个书架的书向左或者向右推动一格。这就是横向的“推”动作,你可以“推”任意多次。
2、你可以拿起某一个书架的一本书,然后把这本书放到任意书架的空格子里。这就是“拿”动作。你可以“拿”任意多次。注意:当你“拿”起一本书时,你是不能做“推”的动作。则“拿”起一本书,接下来的那个动作必须是把这本书放到一个空格子里。每次只能“拿”起一本书。
现在你的任务是:用最少次数的“拿”动作,去完成目标,如果无法完成目标,输出-1。
【输入格式】
第一行,两个整数N和M。 1<=N,M<=1000。
接下来是N行M列的S二维数组。
接下来是N行M列的T二维数组。
【输出格式】
最少次数的“拿”动作。
【数据范围】
50%的数据保证每本书开始和结束时都在同一个书架上。
先来考虑无解的情况。如果所有书架都没有空位,并且存在一本书开始和结束时不在同一个位置,那么无解,输出-1。
当然,如果所有书架都没有空位,但是所有的书开始和结束时都在同一个位置,那么直接输出0即可。
我们先来讨论一下50%数据的情况:每本书开始和结束时都在同一个书架上。
记$k[i]$为开始和结束时都在书架$i$上的书数。
我们分2种情况讨论:
a.书架上有空位
我们只在书架i上移动。
因为有空位,所以我们可以随便把一本书放在任意两本书之间。
根据这$k[i]$本书开始和结束的位置,转换后求最长上升子序列,记$lis[i]$为根据这$k[i]$本书开始和结束的位置转换后求到的最长上升子序列。
那么第$i$个书架的答案是$k[i]-lis[i]$
b.书架上没有空位
我们必须先拿出一本书放到其他的书架上,空出一个位置,我们才可以随便把一本书放在任意两本书之间;最后再把放到其他书架的那本书直接放到它最终位置。
那么第$i$个书架的答案是$k[i]-lis[i]+1$
我们现在来讨论一下100%时情况:
$k[i]$还是表示开始和结束时都在书架$i$上的书数,$lis[i]$还是表示根据这$k[i]$本书开始和结束的位置转换后求到的最长上升子序列。
这时可能有些书开始和结束的时候不在同一个书架上。
我们把每个书架都看成一个点,如果有一本书开始时在书架$i$,结束时在书架$j$,那么点$i$到点$j$连一条有向边。
我们把每个连通图单独考虑。
分两种情况讨论:
a.连通图里所有的书架开始时都没有空位
容易知道连通图里所有书架结束时也都没有空位。
我们发现每个点的入度都等于出度,所以可以构成一个欧拉回路。
第一步,我们必须先拿出一本书放到其他的书架上,空出一个位置;然后根据欧拉回路,把不在正确书架的上的书放到正确书架的正确位置上,我们要移动的步数等于边数;最后再把放到其他书架的那本书直接放到它最终位置。
我们发现,对于这个连通中的每个点$i$,存在某个一个时刻,书架$i$上存在一个空位。
根据前面的推论容易知道:如果某个时刻书架存在$i$一个空位,那么把$k[i]$本开始和结束都在书架$i$上的书放回原位的最长步数是$k[i]-lis[i]$。
所以这个连通图的答案是$边数+\sum (k[i]-lis[i])+1$
注意这里有个特殊情况,就是如果连通图里只有一个书架,并且书都已经在正确位置上了,即使已经没有空位了,也不用移动。
b.连通图里存在一个书架开始时有空位
我们任选一个入度大于出度的点$u$和一个出度大于入度的点$v$,从点$u$到点$v$连一条虚拟的有向边。
重复上述过程,直至所有点的入度均等于出度。
任选一个开始时有空位的书架,类似地,根据欧拉回路,如果走实边,那么把不在正确书架的上的书放到正确书架的正确位置上;如果走虚边,那么不做任何操作。
这样为什么是对的呢?
我们发现,对于入度大于出度的点,一定至少有$入度-出度$个空位;而对于入度大于出度的点,只有$入度-出度$条虚边从它自己出发。
所以一定有足够的空位。
这种方法好神奇!
所以这个连通图的答案是$实边数+\sum (k[i]-lis[i])$
虽然我们分析了这么久,但是其实实现起来非常简单,时间复杂度$O(nmlogm)$
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