bzoj4011[HNOI2015]落忆枫音

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4011

记新加入的边的起点为$x$，终点为$y$

首先，我们先考虑新加入的边没有构成环的情况,即在原图中$x$能到$y$：

这时还是一个有向无环图。

根据朱刘算法的推论，记$indegree[i]$表示点$i$的入度，那么答案就是$\sum\limits_{i=1}^{n}indegree[i]$

现在考虑新加入的边构成了环的情况，即在原图中$y$能到$x$：

我们发现，其实$\sum\limits_{i=1}^{n}indegree[i]$算多了非法情况。

我们统计非法情况的个数。

我们发现在非法情况中一定包含新加入的边和一条原图$y$到$x$的路径组成的简单环；对于不在这个简单环上每个点$i$，任选一条以点$i$为终点的有向边，有$degree[i]$个选择。

所以非法情况的个数是：

$\sum\limits_{S是y到x的任意一条路径}\sum\limits_{j\notin S}indegree[j]$

$=\sum\limits_{S是y到x的任意一条路径}\frac{\sum\limits_{j=1}^{n}indegree[j]}{\sum\limits_{j\in S}indegree[j]}$

用DP。

记$f[i]=\sum\limits_{S是y到i的任意一条路径}\frac{\sum\limits_{j=1}^{n}indegree[j]}{\sum\limits_{j\in S}indegree[j]}$

易知$f[y]=\frac{\sum\limits_{j=1}^{n}indegree[j]}{indegree[y]}$

根据拓扑序DP。

如果有一条$u$到$v$边，那么$f[v]+=\frac{f[u]}{indegree[v]}$

然后输出$\sum\limits_{i=1}^{n}indegree[i]-f[x]$即可。

注意$y=1$的特殊情况。

这题的巧妙之处是我们发现合法情况非常难统计，但是我们我们知道合法情况和非法情况的和，并且非法情况比较容易统计，运用了补集的思想。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<fstream>
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#include<deque>
#include<cctype>
#include<climits>
#include<complex>
//#include<bits/stdc++.h>适用于CF,UOJ，但不适用于poj
 
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef double DB;
typedef pair<int,int> PII;
typedef complex<DB> CP;

#define mmst(a,v) memset(a,v,sizeof(a))
#define mmcy(a,b) memcpy(a,b,sizeof(a))
#define fill(a,l,r,v) fill(a+l,a+r+1,v)
#define re(i,a,b)  for(i=(a);i<=(b);i++)
#define red(i,a,b) for(i=(a);i>=(b);i--)
#define ire(i,x) for(typedef(x.begin()) i=x.begin();i!=x.end();i++)
#define fi first
#define se second
#define m_p(a,b) make_pair(a,b)
#define p_b(a) push_back(a)
#define SF scanf
#define PF printf
#define two(k) (1<<(k))

template<class T>inline T sqr(T x){return x*x;}
template<class T>inline void upmin(T &t,T tmp){if(t>tmp)t=tmp;}
template<class T>inline void upmax(T &t,T tmp){if(t<tmp)t=tmp;}

inline int sgn(DB x){if(abs(x)<1e-9)return 0;return(x>0)?1:-1;}
const DB Pi=acos(-1.0);

int gint()
  {
        int res=0;bool neg=0;char z;
        for(z=getchar();z!=EOF && z!='-' && !isdigit(z);z=getchar());
        if(z==EOF)return 0;
        if(z=='-'){neg=1;z=getchar();}
        for(;z!=EOF && isdigit(z);res=res*10+z-'0',z=getchar());
        return (neg)?-res:res; 
    }
LL gll()
  {
      LL res=0;bool neg=0;char z;
        for(z=getchar();z!=EOF && z!='-' && !isdigit(z);z=getchar());
        if(z==EOF)return 0;
        if(z=='-'){neg=1;z=getchar();}
        for(;z!=EOF && isdigit(z);res=res*10+z-'0',z=getchar());
        return (neg)?-res:res; 
    }

const int maxn=100000;
const int maxm=200000;
const LL Mod=1000000007;

int n,m,x,y;
int now,first[maxn+100];
struct Tedge{int v,next;}edge[maxm+100];
LL degree[maxn+100],_degree[maxn+100];
LL f[maxn+100],ans;

void addedge(int u,int v){now++;edge[now].v=v;edge[now].next=first[u];first[u]=now;}

LL power(LL a,LL k){LL x=1;while(k){if(k&1)x=x*a%Mod;k>>=1;a=a*a%Mod;}return x;}

queue<int>Q;

int main()
  {
      freopen("bzoj4011.in","r",stdin);
      freopen("bzoj4011.out","w",stdout);
      int i;
      n=gint();m=gint();x=gint();y=gint();
      now=-1;mmst(first,-1);
      re(i,1,m){int u=gint(),v=gint();addedge(u,v);degree[v]++;}
        ans=1;
        re(i,1,n)_degree[i]=degree[i];
        degree[y]++;
        re(i,2,n)ans=ans*degree[i]%Mod;
        if(y==1){cout<<ans<<endl;return 0;}
        f[y]=ans;
        re(i,1,n)if(_degree[i]==0)Q.push(i);
        while(!Q.empty())
          {
              int u=Q.front(),v;Q.pop();
              for(i=first[u],v=edge[i].v;i!=-1;i=edge[i].next,v=edge[i].v)
                {
                    (f[v]+=f[u])%=Mod;
                    _degree[v]--;
                    if(_degree[v]==0)
                      {
                          (f[v]*=power(degree[v],Mod-2))%Mod;
                          Q.push(v);
                      }
                }
          }
        ans-=f[x];
        ans=(ans%Mod+Mod)%Mod;
        cout<<ans<<endl;
        return 0;
    }