bzoj4011[HNOI2015]落忆枫音
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4011
记新加入的边的起点为$x$,终点为$y$
首先,我们先考虑新加入的边没有构成环的情况,即在原图中$x$能到$y$:
这时还是一个有向无环图。
根据朱刘算法的推论,记$indegree[i]$表示点$i$的入度,那么答案就是$\sum\limits_{i=1}^{n}indegree[i]$
现在考虑新加入的边构成了环的情况,即在原图中$y$能到$x$:
我们发现,其实$\sum\limits_{i=1}^{n}indegree[i]$算多了非法情况。
我们统计非法情况的个数。
我们发现在非法情况中一定包含新加入的边和一条原图$y$到$x$的路径组成的简单环;对于不在这个简单环上每个点$i$,任选一条以点$i$为终点的有向边,有$degree[i]$个选择。
所以非法情况的个数是:
$\sum\limits_{S是y到x的任意一条路径}\sum\limits_{j\notin S}indegree[j]$
$=\sum\limits_{S是y到x的任意一条路径}\frac{\sum\limits_{j=1}^{n}indegree[j]}{\sum\limits_{j\in S}indegree[j]}$
用DP。
记$f[i]=\sum\limits_{S是y到i的任意一条路径}\frac{\sum\limits_{j=1}^{n}indegree[j]}{\sum\limits_{j\in S}indegree[j]}$
易知$f[y]=\frac{\sum\limits_{j=1}^{n}indegree[j]}{indegree[y]}$
根据拓扑序DP。
如果有一条$u$到$v$边,那么$f[v]+=\frac{f[u]}{indegree[v]}$
然后输出$\sum\limits_{i=1}^{n}indegree[i]-f[x]$即可。
注意$y=1$的特殊情况。
这题的巧妙之处是我们发现合法情况非常难统计,但是我们我们知道合法情况和非法情况的和,并且非法情况比较容易统计,运用了补集的思想。
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
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