NOI2013 树的计数
85%做法：
动态规划。
首先重编号，BFS序变成1...n，然后DFS序相应重编号。
记pos[i]为i号点在DFS中的位置，即pos[d[i]]=i。
记F[l][r]表示BFS序中l...r号点相同高度时的高度和，G[l][r]表示BFS序中l...r号点相同高度的个数。
我们要寻找合法的k，使得[r+1][k]作为下一层，然后转移：
F[r+1][k]+=F[l][r]+G[l][r]
G[r+1][k]+=G[l][r]
我们要找到合法的k，k要满足以下条件：
(1)[l,r]在DFS序中的下一个一定在[1,k]中。
分析：
假设A∈[l,r]，那么A在DFS序中的下一个B只有下面3种情况：
这3种情况中，B的高度最多比A多1。
[k+1,N]的点应该在[r+1,k]那一层下面，如果[l,r]在DFS序中的下一个在[k+1,N]中，就会在[r+1,k]那一层乱入一个[k+1,N]的点，这样是违法的。
所以这个条件限制了[k+1,N]进入[r+1,k]那一层。
(2)r+1在DFS序中的上一个在[l,r]中。
如下面这种情况：
如果r+1在DFS序中的上一个不在[l,r]那么，r+1就不能另开一层了。
(3)[r+1,k]在DFS序中的位置是递增的。
是为了防止这种情况发生：
时间复杂度O（N^3)，然而实际上满足条件的k并不多，可以过85%的数据。
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<fstream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<string> #include<cmath> #include<queue> #include<stack> #include<map> #include<utility> #include<set> #include<bitset> #include<vector> #include<functional> #include<deque> #include<cctype> #include<climits> #include<complex> //#include<bits/stdc++.h>适用于CF,UOJ，但不适用于poj using namespace std; typedef long long LL; typedef double DB; typedef pair<int,int> PII; typedef complex<DB> CP; #define mmst(a,v) memset(a,v,sizeof(a)) #define mmcy(a,b) memcpy(a,b,sizeof(a)) #define re(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++) #define red(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--) #define fi first #define se second #define m_p(a,b) make_pair(a,b) #define SF scanf #define PF printf #define two(k) (1<<(k)) template<class T>inline T sqr(T x){return x*x;} template<class T>inline void upmin(T &t,T tmp){if(t>tmp)t=tmp;} template<class T>inline void upmax(T &t,T tmp){if(t<tmp)t=tmp;} const DB EPS=1e-9; inline int sgn(DB x){if(abs(x)<EPS)return 0;return(x>0)?1:-1;} const DB Pi=acos(-1.0); inline void clear(vector<int> *A,int a,int b){int i,j;A->clear();re(i,0,a)re(j,0,b)A[i].push_back(0);} inline int gint() { int res=0;bool neg=0;char z; for(z=getchar();z!=EOF && z!='-' && !isdigit(z);z=getchar()); if(z==EOF)return 0; if(z=='-'){neg=1;z=getchar();} for(;z!=EOF && isdigit(z);res=res*10+z-'0',z=getchar()); return (neg)?-res:res; } inline LL gll() { LL res=0;bool neg=0;char z; for(z=getchar();z!=EOF && z!='-' && !isdigit(z);z=getchar()); if(z==EOF)return 0; if(z=='-'){neg=1;z=getchar();} for(;z!=EOF && isdigit(z);res=res*10+z-'0',z=getchar()); return (neg)?-res:res; } const int maxN=2000; int N; int d[maxN+10],b[maxN+10]; int bak[maxN+10],pos[maxN+100]; DB F[maxN+10][maxN+10],G[maxN+10][maxN+10]; DB sumF,sumG,ans; int main() { freopen("count.in","r",stdin); freopen("count.out","w",stdout); int i,j,k; N=gint(); re(i,1,N)d[i]=gint(); re(i,1,N)b[i]=gint(); re(i,1,N)bak[b[i]]=i; re(i,1,N)d[i]=bak[d[i]],b[i]=bak[b[i]]; re(i,1,N)pos[d[i]]=i; F[1][1]=1.0,G[1][1]=1.0; re(i,1,N)re(j,i,N) { if(G[i][j]==0.0)continue; int t=0; re(k,i,j)upmax(t,d[pos[k]+1]); for(k=j+1;k<=N;k++) { if(k<t)continue; if(!(i<=d[pos[j+1]-1] && d[pos[j+1]-1]<=j))break; if(k-1>=j+1 && pos[k]<pos[k-1])break; F[j+1][k]+=F[i][j]+G[i][j]; G[j+1][k]+=G[i][j]; } } sumF=sumG=0.0; re(i,1,N)sumF+=F[i][N],sumG+=G[i][N]; ans=(sgn(sumG)==0)?0.0:sumF/sumG; PF("%0.3lf\n",ans); }
100%做法：
动态规划。
首先重编号，BFS序变成1...n，然后DFS序相应重编号。
记pos[i]为i号点在DFS中的位置，即pos[d[i]]=i。
记h[i]为第i号点的期望高度。
容易知道h[1]为1，h[2]为2
我们按照BFS序从小到大枚举1到N，我们知道i号点和i-1号点高度相差0或1，且只能出现在下面蓝色框（i-1号点右边的兄弟），红色框（i-1号点左边兄弟的儿子，此时蓝色框为空）和绿色框中（i-1号点的儿子，此时蓝色框和红色框为空）。
1.pos[i-1]>pos[i]
i号点一定在红色框中，所以h[i]=h[i-1]+1
2.pos[i-1]<pos[i]
2.1 pos[i-1]+1!=pos[i]
i号点一定在蓝色框中。
如果i号点在绿色框中，那么i一定是i-1的第一个儿子，这样的话pos[i-1]+1=pos[i]，矛盾，所以i号点一定在蓝色框中。
所以h[i]=h[i-1]
2.2 pos[i-1]+1=pos[i]
考虑绿色框，我们想要i号点在绿色框中就必须保证蓝色框和红色框为空。怎么保证呢？就是[1..i-1]号点在DFS序中的下一个都在[1..i]中。
2.2.1 [1..i-1]号点在DFS序中的下一个都在[1..i]中。
这时候i号点既可以在绿色框中也也可以在蓝色框中，所以h[i]=h[i-1]或h[i]=h[i-1]+1
因为这两种情况等概率，所以h[i]=h[i-1]+0.5
2.2.2 [1..i-1]号点在DFS序中的下一个并不都在[1..i]中。
这时候i号点只能在蓝色框，所以h[i]=h[i-1]
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<fstream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<string> #include<cmath> #include<queue> #include<stack> #include<map> #include<utility> #include<set> #include<bitset> #include<vector> #include<functional> #include<deque> #include<cctype> #include<climits> #include<complex> //#include<bits/stdc++.h>适用于CF,UOJ，但不适用于poj using namespace std; typedef long long LL; typedef double DB; typedef pair<int,int> PII; typedef complex<DB> CP; #define mmst(a,v) memset(a,v,sizeof(a)) #define mmcy(a,b) memcpy(a,b,sizeof(a)) #define re(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++) #define red(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--) #define fi first #define se second #define m_p(a,b) make_pair(a,b) #define SF scanf #define PF printf #define two(k) (1<<(k)) template<class T>inline T sqr(T x){return x*x;} template<class T>inline void upmin(T &t,T tmp){if(t>tmp)t=tmp;} template<class T>inline void upmax(T &t,T tmp){if(t<tmp)t=tmp;} const DB EPS=1e-9; inline int sgn(DB x){if(abs(x)<EPS)return 0;return(x>0)?1:-1;} const DB Pi=acos(-1.0); inline void clear(vector<int> *A,int a,int b){int i,j;A->clear();re(i,0,a)re(j,0,b)A[i].push_back(0);} inline int gint() { int res=0;bool neg=0;char z; for(z=getchar();z!=EOF && z!='-' && !isdigit(z);z=getchar()); if(z==EOF)return 0; if(z=='-'){neg=1;z=getchar();} for(;z!=EOF && isdigit(z);res=res*10+z-'0',z=getchar()); return (neg)?-res:res; } inline LL gll() { LL res=0;bool neg=0;char z; for(z=getchar();z!=EOF && z!='-' && !isdigit(z);z=getchar()); if(z==EOF)return 0; if(z=='-'){neg=1;z=getchar();} for(;z!=EOF && isdigit(z);res=res*10+z-'0',z=getchar()); return (neg)?-res:res; } const int maxN=200000; int N; int d[maxN+10],b[maxN+10]; int bak[maxN+10],pos[maxN+10]; DB h[maxN+10]; int main() { freopen("count.in","r",stdin); freopen("count.out","w",stdout); int i; N=gint(); re(i,1,N)d[i]=gint(); re(i,1,N)b[i]=gint(); re(i,1,N)bak[b[i]]=i; re(i,1,N)d[i]=bak[d[i]],b[i]=bak[b[i]]; re(i,1,N)pos[d[i]]=i; int t=0; h[1]=1.0; upmax(t,d[pos[1]+1]); h[2]=2.0; upmax(t,d[pos[2]+1]); re(i,3,N) { if(pos[i-1]>pos[i]) h[i]=h[i-1]+1.0; else if(pos[i-1]+1!=pos[i]) h[i]=h[i-1]; else if(t<=i) h[i]=h[i-1]+0.5; else h[i]=h[i-1]; upmax(t,d[pos[i]+1]); } PF("%0.3lf\n",h[N]); return 0; }
