几种求逆元的方法

题目背景
这是一道模板题
题目描述
给定n,p求1~n中所有整数在模p意义下的乘法逆元。
输入输出格式
输入格式：
一行n,p
输出格式：
n行,第i行表示i在模p意义下的逆元。
输入输出样例
输入样例#1： 
10 13
输出样例#1： 
1
7
9
10
8
11
2
5
3
4
说明
1<=n<=3*10^6;n<p<20000528
输入保证 p 为质数。

一、扩展欧几里德 ax+by=gcd（a，b）的整数解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,p;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){
        x=1;y=0;return;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    swap(x,y);
    y=y-a/b*x;//不可以写成y=y-a*x/b 
}//x为a在mod p 意义下的逆元 
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    for(int i=1,x,y;i<=n;++i)
    {
        exgcd(i,p,x,y);
        while(x<0) x+=p;
        printf("%d\n",x%p);
    }
    return 0;
}

二、费马小定理  要求P为质数

费马小定理

a^(p-1) ≡1 (mod p)

两边同除以a

a^(p-2) ≡1/a (mod p)

应该写a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)

所以inv(a) = a^(p-2) (mod p)

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,p;
int ksm(int x,int y)
{
    int ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) ans=1ll*ans*x%p;
        y>>=1;
        x=1ll*x*x%p;
    }
    return ans;
} 
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    for(int i=1,x,y;i<=n;++i)
     printf("%d\n",ksm(i,p-2));
    return 0;
}

 

三、线性递推逆元 要求P为质数

证明：
设x = p % a,y = p / a
于是有 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移项得 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p - y) * inv(x) % p
于是 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

然后一直递归到1为止，因为1的逆元就是1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,p,inv[10000000];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
     inv[i]=(p-p/i)*1ll*inv[p%i]%p;
    for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d\n",inv[i]);
    return 0;
}

 四. 要求P为质数