（微分，不定积分，定积分）正在写DirectX.capture的文档，偶然听见师哥们讨论 “平滑的曲线像微分一样”

“平滑的曲线像微分一样”

在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。

设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△X→0）。

 

导数的图形。

 

导数：如果是在某点处的导数的话，那导数有几何意思，那就是在该点处的切线的斜率。如果是函数和导数，就是因变量y对自变量x的变化率。结合后面的微分知识知道，导数其实是微商，即因变量的增量与自变量的增量的比值的极限，写成公式就是f'(x)=dy/dx，

微分：如果函数在某点处的增量可以表示成
△y=A△x+o(△x) (o(△x)是△x的高阶无穷小）
且A是一个与△x无关的常数的话，那么这个A△x就叫做函数在这点处的微分，用dy表示，即dy=A△x
△y=A△x+o(△x)，两边同除△x有
△y/△x=A+o(△x)/△x，再取△x趋于0的极限有
lim△y/△x=lim[A+o(△x)/△x]=limA+lim[o(△x)/△x]=A+0
f'(x)=lim△y/△x=A
所以这里就揭示出了，导数与微分之间的关系了，
某点处的微分:dy=f'(x)△x
通常我们又把△x叫自变量的微分，用dx表示 所以就有
dy=f'(x)dx.证明出了微分与导数的关系
正因为f'(x)=dy/dx，所以导数也叫做微商（两个微分的商）

不定积分：求积分的过程，与求导的过程正好是逆过程，好加与减，乘与除的关系差不多。求一个函数f(x)的不定积分，就是要求出一个原函数F（x），使得F'(x)=f(x)，
而F(x)+C（C为任意常数）就是不定积分∫f'(x)dx的所有原函数，
不定积分其实就是这个表达式：∫f'(x)dx

定积分与不定积分的区别是，定积分有上下限，∫（a,b）f'(x)dx
而不定积分是没有上下限的，因而不定积分的结果往往是个函数，定积分的结果则是个常数，这点对解积分方程有一定的帮助。

 

微分是微分学转向积分学的一个关键概念。

 　不定积分是一个函数，定积分则是一个数值。求一个函数的原函数，叫做求它的不定积分；求一个函数相应于闭区间的一个带标志点分划的黎曼和关于这个分划的参数趋于零时的极限，叫做这个函数在这个闭区间上的定积分。

 

　　不定积分

 

　　　即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。

 

　　定积分

 

　　　定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0, x=a ,x=b, y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

  

定积分

因为在牛顿-莱布尼茨公式发明之前 我们只能靠无限分割区间来再相加来进行定积分（微分思想）
有时很方便 但大多数时很不方便
自从有了牛顿-莱布尼茨公式  积分学起了巨大变化
只要知道此函数的原函数就可计算出定积分
当然也有限制 必须是函数在区间内连续才可以 比如处处可导都不能用此公式
这个公式是天才的发明 向他们致敬

 

关于不定积分与微分的关系

 积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。
  一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。

 

说： 积分是微分的逆运算， 是因为，不定积分不用说了。

　　牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。

而微分是不定积分的逆运算。

 

不定积分与定积分的关系是什么？

不定积分是一个函数，定积分是一个数值。求一个函数的原函数，叫做求它的不

定积分；把上下限代如不定积分，求出来的数值，叫做定积分。

定积分就是求函数F(X)在区间（A,B）中图线下包围的面积。即 y=0 x=a x=b 

y=F(X)所包围的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边梯形。

最后要认清不定积分的学习就是为了定积分铺路。

  定积分与积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支

撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可

能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎

鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：
  若F'(x)=f(x)
  那么∫ _a^b(f(x) dx ) = F(a)-F(b)

 

 

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。这样，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。

　设F（x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C。

  

不定积分

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

 

 

 

 

 

自己的一些想法：

1.微分

2.不定积分是已知一个“导数”求原本的函数。

3.定积分是一个面积的值，是原函数在某个区间的面积。是多个微分的累加。

4.微分与定积分   微分是一种函数的局部变化率线性描述，而定积分是计算一个曲线在某区间内的面积，按照微分思想，不断分割，则是无数个小长方形相加，

5.微分与不定积分  没关系，导数与不定积分有关系

6.不定积分与定积分。没什么关系

微分：

微分是对函数的局部变化率的一种线性描述，我个人觉得这和导数差不多，只不过表现形式不同而已。微分可以近似地描述当函数自变量的取值改变比较小时，函数的值的变化情况。

微分和导数有什么区别

(1)起源（定义）不同：导数起源是函数值随自变量增量的变化率，即△y/△x的极限。

                              微分起源于微量分析，如△y可分解成A△x与o(△x)两部分之和，其线性主部称微分。当△x很小时，△y的数值大小主要由微分A△x决定，而o(△x)对其大小的影响是很小的。
(2)几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率，微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量，而△y则是沿曲线方向上纵坐标的增量。可参考任何一本教材的图形理解。
(3)联系：导数是微分之商（微商）y' =dy/dx, 微分dy=f'(x)dx，这里公式本身也体现了它们的区别。
(4)关系：对一元函数而言，可导必可微，可微必可导。

 

微分思想是无限分割，积分思想是无限累加。但这指的应该是定积分，不定积分体现不出来这种思想，因为它根本就不是积出来的。从数学思想上，微分和定积分才是互逆的。不定积分和导数是互逆运算，不表示它和微分也是互逆运算。微分用导数来表示，只是一个计算得出的结果，从定义中推不出来。所以说微分是不定积分的逆运算并不准确，它们形似而神非。

定积分和不定积分在微分时代时没有什么联系，因为微分思想，去切割求解，他们之间的联系不太明显。

到牛顿-公式 时，定积分的求解利用了不定积分，不定积分已知导数求原函数。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R) 不定积分最后得到的是原函数的曲线F（x）

而定积分求F（x）也就是原函数曲线在两个点与X,Y轴 的面积。。

 

牛顿-公式:导数与原函数存在关系，原函数与导数存在公式关系了，知道定积分，是一个求曲线下从a到b面积的一种运算，这种运算的定义是基于极限的，把它下面分成一个个小的矩形，然后求和。于是求出来是一个数
而不定积分是导数的逆运算，而导数本身就是从一个函数到一个函数的映射，因此不定积分求出来的是一个函数。
记住，不定积分和定积分的概念完全不同，完全不是一个东西。
但是由于牛顿莱布尼兹公式才把不定积分和定积分联系了起来，给出了一个方便的求定积分的方法，就是利用不定积分。了原函数就可以求定积分，则不定积分与定积分之间产生了关系。

　若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且

 

　　b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)

 

　　这即为牛顿—莱布尼茨公式。

 

　　牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。