如何理解时间复杂度和空间复杂度
你是怎么理解算法的呢？
简单说就是，同一个功能
- 别人写的代码跑起来占内存 100M，耗时 100 毫秒
- 你写的代码跑起来占内存 500M，耗时 1000 毫秒，甚至更多
所以
- 衡量代码好坏有两个非常重要的标准就是：
运行时间和占用空间，就是我们后面要说到的时间复杂度和空间复杂度，也是学好算法的重要基石 - 这也是会算法和不会算法的攻城狮的区别、更是薪资的区别，因为待遇好的大厂面试基本都有算法
可能有人会问：别人是怎么做到的？代码没开发完 运行起来之前怎么知道占多少内存和运行时间呢？
确切的占内用存或运行时间确实算不出来，而且同一段代码在不同性能的机器上执行的时间也不一样，可是代码的基本执行次数，我们是可以算得出来的，这就要说到时间复杂度了
什么是时间复杂度
看个栗子
function foo1(){
console.log("我吃了一颗糖")
console.log("我又吃了一颗糖")
return "再吃一颗糖"
}
调用这个函数，里面总执行次数就是3次，这个没毛病，都不用算
那么下面这个栗子呢
function foo2(n){
for( let i = 0; i < n; i++){
console.log("我吃了一颗糖")
}
return "一颗糖"
}
那这个函数里面总执行次数呢？根据我们传进去的值不一样，执行次数也就不一样，但是大概次数我们总能知道
let = 0 ：执行 1 次
i < n : 执行 n+1 次
i++ : 执行 n+1 次
console.log("执行了") : 执行 n 次
return 1 : 执行 1 次
这个函数的总执行次数就是 3n + 4 次，对吧
可是我们开发不可能都这样去数，所以根据代码执行时间的推导过程就有一个规律，也就是所有代码执行时间 T(n)和代码的执行次数 f(n) ，这个是成正比的，而这个规律有一个公式
T(n) = O( f(n) )
n 是输入数据的大小或者输入数据的数量
T(n) 表示一段代码的总执行时间
f(n) 表示一段代码的总执行次数
O 表示代码的执行时间 T(n) 和 执行次数f(n) 成正比
完整的公式看着就很麻烦，别着急，这个公式只要了解一下就可以了，为的就是让你知道我们表示算法复杂度的 O() 是怎么来的，我们平时表示算法复杂度主要就是用 O()，读作大欧表示法，是字母O不是零
只用一个 O() 表示，这样看起来立马就容易理解多了
回到刚才的两个例子，就是上面的两个函数
- 第一个函数执行了3次，用复杂度表示就是 O(3)
- 第二个函数执行了3n + 4次，复杂度就是 O(3n+4)
这样有没有觉得还是很麻烦，因为如果函数逻辑一样的，只是执行次数差个几次，像O(3) 和 O(4)，有什么差别？还要写成两种就有点多此一举了，所以复杂度里有统一的简化的表示法，这个执行时间简化的估算值就是我们最终的时间复杂度
简化的过程如下
- 如果只是常数直接估算为1，O(3) 的时间复杂度就是
O(1)，不是说只执行了1次，而是对常量级时间复杂度的一种表示法。一般情况下，只要算法里没有循环和递归，就算有上万行代码，时间复杂度也是O(1) - O(3n+4) 里常数4对于总执行次数的几乎没有影响，直接忽略不计，系数 3 影响也不大，因为3n和n都是一个量级的，所以作为系数的常数3也估算为1或者可以理解为去掉系数，所以 O(3n+4) 的时间复杂度为
O(n) - 如果是多项式，只需要保留n的最高次项，
O( 666n³ + 666n² + n )，这个复杂度里面的最高次项是n的3次方。因为随着n的增大，后面的项的增长远远不及n的最高次项大，所以低于这个次项的直接忽略不计，常数也忽略不计，简化后的时间复杂度为 O(n³)
这里如果没有理解的话，暂停理解一下
接下来结合栗子，看一下常见的时间复杂度
常用时间复杂度
O(1)
上面说了，一般情况下，只要算法里没有循环和递归，就算有上万行代码，时间复杂度也是 O(1)，因为它的执行次数不会随着任何一个变量的增大而变长，比如下面这样
function foo(){
let n = 1
let b = n * 100
if(b === 100){
console.log("开始吃糖")
}
console.log("我吃了1颗糖")
console.log("我吃了2颗糖")
......
console.log("我吃了10000颗糖")
}
O(n)
上面也介绍了 O(n)，总的来说 只有一层循环或者递归等，时间复杂度就是 O(n)，比如下面这样
function foo1(n){
for( let i = 0; i < n; i++){
console.log("我吃了一颗糖")
}
}
function foo2(n){
while( --n > 0){
console.log("我吃了一颗糖")
}
}
function foo3(n){
console.log("我吃了一颗糖")
--n > 0 && foo3(n)
}
O(n²)
比如嵌套循环，如下面这样的，里层循环执行 n 次，外层循环也执行 n 次，总执行次数就是 n x n，时间复杂度就是 n 的平方，也就是 O(n²)。假设 n 是 10，那么里面的就会打印 10 x 10 = 100 次
function foo1(n){
for( let i = 0; i < n; i++){
for( let j = 0; j < n; j++){
console.log("我吃了一颗糖")
}
}
}
还有这样的，总执行次数为 n + n²，上面说了，如果是多项式，取最高次项，所以这个时间复杂度也是 O(n²)
function foo2(n){
for( let k = 0; k < n; k++){
console.log("我吃了一颗糖")
}
for( let i = 0; i < n; i++){
for( let j = 0; j < n; j++){
console.log("我吃了一颗糖")
}
}
}
//或者下面这样，以运行时间最长的，作为时间复杂度的依据，所以下面的时间复杂度就是 O(n²)
function foo3(n){
if( n > 100){
for( let k = 0; k < n; k++){
console.log("我吃了一颗糖")
}
}else{
for( let i = 0; i < n; i++){
for( let j = 0; j < n; j++){
console.log("我吃了一颗糖")
}
}
}
}
O(logn)
举个栗子，这里有一包糖
这包糖里有16颗，每天吃这一包糖的一半，请问多少天吃完？
意思就是16不断除以2，除几次之后等于1？用代码表示
function foo1(n){
let day = 0
while(n > 1){
n = n/2
day++
}
return day
}
console.log( foo1(16) ) // 4
循环次数的影响主要来源于 n/2 ，这个时间复杂度就是 O(logn) ，这个复杂度是怎么来的呢，别着急，继续看
再比如下面这样
function foo2(n){
for(let i = 0; i < n; i *= 2){
console.log("一天")
}
}
foo2( 16 )
里面的打印执行了 4 次，循环次数主要影响来源于 i *= 2 ，这个时间复杂度也是 O(logn)
这个 O(logn) 是怎么来的，这里补充一个小学三年级数学的知识点，对数，我们看一张图
没有理解的话再看一下，理解一下规律
真数：就是真数，这道题里就是16底数：就是值变化的规律，比如每次循环都是i*=2，这个乘以2就是规律。比如1,2,3,4,5...这样的值的话，底就是1，每个数变化的规律是+1嘛对数：在这道题里可以理解成x2乘了多少次，这个次数
仔细观察规律就会发现这道题里底数是 2，而我们要求的天数就是这个对数4，在对数里有一个表达公式
a^b = n 读作以a为底,b的对数=n，在这道题里我们知道a和n的值，也就是 2^b = 16 然后求 b
把这个公式转换一下的写法如下
log(a) n = b 在这道题里就是 log(2) 16 = ? 答案就是 4
公式是固定的，这个16不是固定的，是我们传进去的 n，所以可以理解为这道题就是求 log(2)n = ?
用时间复杂度表示就是 O(log(2)n)，由于时间复杂度需要去掉常数和系数，而log的底数跟系数是一样的，所以也需要去掉，所以最后这个正确的时间复杂度就是 O(logn)
emmmmm.....
没有理解的话，可以暂停理解一下
其他还有一些时间复杂度，我由快到慢排列了一下，如下表顺序
| 复杂度 | 名称 |
|---|---|
O(1) |
常数复杂度 |
O(logn) |
对数复杂度 |
O(n) |
线性时间复杂度 |
O(nlogn) |
线性对数复杂度 |
O(n²) |
平方 |
O(n³) |
立方 |
O(2^n) |
指数，一点数据量就卡的不行 |
O(n!) |
阶乘，就更慢了 |
这些时间复杂度有什么区别呢，看张图
随着数据量或者 n 的增大，时间复杂度也随之增加，也就是执行时间的增加，会越来越慢，越来越卡
总的来说时间复杂度就是执行时间增长的趋势，那么空间复杂度就是存储空间增长的趋势
什么是空间复杂度
空间复杂度就是算法需要多少内存，占用了多少空间
常用的空间复杂度有 O(1)、O(n)、O(n²)
O(1)
只要不会因为算法里的执行，导致额外的空间增长，就算是一万行，空间复杂度也是 O(1)，比如下面这样，时间复杂度也是 O(1)
function foo(){
let n = 1
let b = n * 100
if(b === 100){
console.log("开始吃糖")
}
console.log("我吃了1颗糖")
console.log("我吃了2颗糖")
......
console.log("我吃了10000颗糖")
}
O(n)
比如下面这样，n 的数值越大，算法需要分配的空间就需要越多，来存储数组里的值，所以它的空间复杂度就是 O(n)，时间复杂度也是 O(n)
function foo(n){
let arr = []
for( let i = 1; i < n; i++ ) {
arr[i] = i
}
}
O(n²)
O(n²) 这种空间复杂度一般出现在比如二维数组，或是矩阵的情况下
不用说，你肯定明白是啥情况啦
就是遍历生成类似这样格式的
let arr = [
[1,2,3,4,5],
[1,2,3,4,5],
[1,2,3,4,5]
]
结语
想要学好算法，就必须要理解复杂度这个重要基石
复杂度分析不难，关键还是在于多练。每次看到代码的时候，简单的一眼就能看出复杂度，难的稍微分析一下也能得出答案。推荐去 leetCode 刷题，App或者PC端都可以。
