【AW346】走廊泼水节

题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/348/

题目大意：给定一棵 \(n\)个节点的树，要求增加若干条边，把这棵树扩充为完全图，并满足图的唯一最小生成树仍然是这棵树, 求增加的边的权值总和最小是多少

solution

很显然 , 对于增加一条连接 \(a_i\) , \(b_i\) 的边 , 要满足图的唯一最小生成树仍然是这棵树 , 它的边权至少为 \(max\left\{dis(u , v)\right\}(u , v \in Path(a_i , b_i)) + 1\) , 只要枚举每一条边 , 求出最小值并求和即可

时间复杂度 : \(O(n^2logn)\)

感觉上面那个算法不太好写 , 而且时间复杂度也不够优秀... 于是可以换种思路 , 考虑 \(kruscal\) 的过程 , 对于一条连接 \(a_i\) , \(b_i\) , 权值为 \(w_i\) 的边 , 它连接起了 \(a_i\) , \(b_i\) 所在的两个连通块 , 对于这两个连通块之间的边的权值一定不会小于这条边 , 设这两个连通块的大小为 \(size_a\) , \(size_b\) , 则这两个连通块之间的连边的总权值最小为 \((size_a \times size_b - 1) \times (w_i + 1)\) , 模拟 \(kruscal\) , 顺带记录连通块大小 , 并统计答案即可

时间复杂度 : \(O(n\alpha)\)

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <typename T> inline void read(T &FF) {
	int RR = 1; FF = 0; char CH = getchar();
	for(; !isdigit(CH); CH = getchar()) if(CH == '-') RR = -RR;
	for(; isdigit(CH); CH = getchar()) FF = FF * 10 + CH - 48;
	FF *= RR;
}
inline void file(string str) {
	freopen((str + ".in").c_str(), "r", stdin);
	freopen((str + ".out").c_str(), "w", stdout);
}
const int N = 3e5 + 10;
struct Path{
	int u, v, w;
	friend bool operator < (const Path &ai, const Path &bi) {
		return ai.w < bi.w;
	}
}gi[N];
int fa[N], si[N], n, T;
int find_fa(int xi) {
	return fa[xi] == xi ? xi : fa[xi] = find_fa(fa[xi]);
}
int main() {
	//file("");
	read(T);
	while(T--) {
		read(n);
		int ans = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i, si[i] = 1; 
		for(int i = 1; i < n; i++)
			read(gi[i].u), read(gi[i].v), read(gi[i].w);
		sort(gi + 1, gi + n);
		for(int i = 1; i < n; i++) {
			ans += (si[find_fa(gi[i].u)] * si[find_fa(gi[i].v)] - 1) * (gi[i].w + 1);
			si[find_fa(gi[i].u)] += si[find_fa(gi[i].v)]; fa[find_fa(gi[i].v)] = find_fa(gi[i].u);
		}
		cout << ans << endl;
	} 
	return 0;
}