单源最短路径算法：迪杰斯特拉 (Dijkstra) 算法（二）
一、基于邻接表的Dijkstra算法
如前一篇文章所述，在 Dijkstra 的算法中，维护了两组，一组包含已经包含在最短路径树中的顶点列表，另一组包含尚未包含的顶点。使用邻接表表示，可以使用 BFS 在O（V + E）时间中遍历图的所有顶点 。这个想法是使用 BFS 遍历图的所有顶点，并使用最小堆存储尚未包括在最短路径树中的顶点（或尚未确定最短距离的顶点）。最小堆用作优先级队列，以从尚未包括的顶点集中获取最小距离顶点。对于Min Heap，诸如 extract-min 和 reduce-key 值之类的操作的时间复杂度为 O（logV）。使用邻接表表示的 Dijkstra算法时间复杂度为 O（ELogV）。
二、详细步骤
1） 创建大小为 V 的最小堆，其中 V 是给定图中的顶点数。最小堆的每个节点都包含顶点数和顶点的距离值。
2） 以源顶点为根初始化 Min Heap（分配给源顶点的距离值为 0）。分配给所有其他顶点的距离值为 INF（无穷大）。
3） 当“最小堆”不为空时，执行以下操作：
-
- 从“最小堆”中提取具有最小距离值节点的顶点。让提取的顶点为u。
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- 对于u的每个相邻顶点v，检查v是否在Min Heap中。如果 v 在“最小堆”中，并且距离值大于uv 的权重加上 u 的距离值，则更新 v 的距离值。
用下面的例子来理解。让给定的源顶点为 0：
最初，源顶点到达自身的距离值为 0，对于所有其他顶点，INF 为无穷大。因此，从“最小堆”中提取源顶点，并更新与 0（1和7）相邻的顶点的距离值。“最小堆”包含除顶点 0 以外的所有顶点。绿色的顶点是确定了最小距离的顶点，并且不在“最小堆”中。
由于顶点1 的距离值在最小堆中的所有节点中最小，因此从最小堆中提取顶点，并更新与 1 相邻的顶点的距离值（如果顶点不在最小堆中且距离 1 的距离较短，则更新距离比之前的距离）。最小堆包含除顶点0 和 1 以外的所有顶点。
从最小堆中选取最小距离值的顶点。选择了顶点7。因此，最小堆现在包含除 0、1 和 7 以外的所有顶点。更新相邻 顶点7 的距离值。顶点6 和 8 的距离值变得有限（分别为15和9）。
选择与最小堆的距离最小的顶点。选择了顶点6。因此，最小堆现在包含除 0、1、7 和 6 以外的所有顶点。更新相邻顶点6的距离值。更新顶点5 和 8 的距离值。
重复上述步骤，直到最小堆为空为止。最后，我们得到以下最短路径树。
三、代码
下面是使用了邻接矩阵的迪杰斯特拉算法实现。
1 /** 2 * 使用邻接表来实现Dijkstra的单源最短路径算法的函数 3 * 4 * @param adj 邻接表 5 * @param src 源顶点 6 */ 7 public void dijkstra(List<List<Node>> adj, int src) { 8 this.adj = adj; 9 for (int i = 0; i < V; i++) { 10 dist[i] = Integer.MAX_VALUE; 11 } 12 13 /* 将源节点添加到优先级队列 */ 14 pq.add(new Node(src, 0)); 15 16 /* 源顶点与其自身的距离始终为0 */ 17 dist[src] = 0; 18 19 while (settled.size() != V) { 20 int u = pq.remove().node; 21 settled.add(u); 22 e_Neighbours(u); 23 } 24 }
处理传递的节点的所有邻居。
1 /** 2 * 处理传递过来的节点的所有邻居 3 * 4 * @param u 5 */ 6 private void e_Neighbours(int u) { 7 int edgeDistance = -1; 8 int newDistance = -1; 9 10 /* v的所有邻居 */ 11 for (int i = 0; i < adj.get(u).size(); i++) { 12 Node v = adj.get(u).get(i); 13 14 /* 如果当前节点尚未处理 */ 15 if (!settled.contains(v.node)) { 16 edgeDistance = v.cost; 17 newDistance = dist[u] + edgeDistance; 18 19 /* 如果新距离的成本更低 */ 20 if (newDistance < dist[v.node]) 21 dist[v.node] = newDistance; 22 23 /* 将当前节点添加到队列 */ 24 pq.add(new Node(v.node, dist[v.node])); 25 } 26 } 27 }
源代码：
1 package algorithm.shortestpath; 2 3 import java.util.*; 4 5 public class DijkstraPQ { 6 private int[] dist; // 当前的距离数组 7 private Set<Integer> settled; // 存储最短路径处理完的顶点Set集合 8 private PriorityQueue<Node> pq; // 优先级队列(min-heap) 9 private int V; // 顶点数量 10 List<List<Node>> adj; // 邻接表 11 12 public DijkstraPQ(int v) { 13 this.V = v; 14 dist = new int[V]; 15 settled = new HashSet<>(); 16 pq = new PriorityQueue<>(V, new Node()); 17 } 18 19 /** 20 * 使用邻接表来实现Dijkstra的单源最短路径算法的函数 21 * 22 * @param adj 邻接表 23 * @param src 源顶点 24 */ 25 public void dijkstra(List<List<Node>> adj, int src) { 26 this.adj = adj; 27 for (int i = 0; i < V; i++) { 28 dist[i] = Integer.MAX_VALUE; 29 } 30 31 /* 将源节点添加到优先级队列 */ 32 pq.add(new Node(src, 0)); 33 34 /* 源顶点与其自身的距离始终为0 */ 35 dist[src] = 0; 36 37 while (settled.size() != V) { 38 int u = pq.remove().node; 39 settled.add(u); 40 e_Neighbours(u); 41 } 42 } 43 44 /** 45 * 处理传递的节点的所有邻居的函数 46 * 47 * @param u 48 */ 49 private void e_Neighbours(int u) { 50 int edgeDistance = -1; 51 int newDistance = -1; 52 53 /* v的所有邻居 */ 54 for (int i = 0; i < adj.get(u).size(); i++) { 55 Node v = adj.get(u).get(i); 56 57 /* 如果当前节点尚未处理 */ 58 if (!settled.contains(v.node)) { 59 edgeDistance = v.cost; 60 newDistance = dist[u] + edgeDistance; 61 62 /* 如果新距离的成本更低 */ 63 if (newDistance < dist[v.node]) 64 dist[v.node] = newDistance; 65 66 /* 更新后将当前节点添加到最小堆中 */ 67 pq.add(new Node(v.node, dist[v.node])); 68 } 69 } 70 } 71 72 /** 73 * 测试主函数 74 * 75 * @param args 76 */ 77 public static void main(String[] args) { 78 int V = 5; 79 int source = 0; 80 List<List<Node>> adj = new ArrayList<>(); 81 82 for (int i = 0;i < V; i++) { 83 List<Node> item = new ArrayList<>(); 84 adj.add(item); 85 } 86 87 // 邻接表的输入 88 adj.get(0).add(new Node(1, 9)); 89 adj.get(0).add(new Node(2, 6)); 90 adj.get(0).add(new Node(3, 5)); 91 adj.get(0).add(new Node(4, 3)); 92 93 adj.get(2).add(new Node(1, 2)); 94 adj.get(2).add(new Node(3, 4)); 95 96 DijkstraPQ dijkstraPQ = new DijkstraPQ(V); 97 dijkstraPQ.dijkstra(adj, source); 98 99 System.out.println("The shortest path form node: "); 100 for (int i = 0; i < dijkstraPQ.dist.length; i++) { 101 System.out.println(source + " to " + i + " is " + dijkstraPQ.dist[i]); 102 } 103 } 104 } 105 106 class Node implements Comparator<Node> { 107 108 public int node; // 顶点数 109 public int cost; // 顶点的距离值 110 111 public Node() { 112 } 113 114 public Node(int node, int cost) { 115 this.node = node; 116 this.cost = cost; 117 } 118 119 @Override 120 public int compare(Node o1, Node o2) { 121 if (o1.cost < o2.cost) 122 return -1; 123 if (o1.cost > o2.cost) 124 return 1; 125 return 0; 126 } 127 }
