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积分图 是 [Crow(1984 年)] 提出的用于提高多尺度透视投影中纹理的渲染速度的一种技术. 积分图最流行的应用是 快速归一化互相关 (fast normalized cross-correlation), Viola-Jones 目标检测框架, SURF 变换( Speeded Up Robust Feature).
本章介绍的是积分图在基本的块统计滤波器中的应用.
均值
随机变量 \(X=\{x_1,\dots,x_n\}\) 的离散分布的均值 \(\mu(X)\) 定义为:
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\mu=\sum_{i=1}^np_ix_i
\end{aligned}
\end{equation}
\]
如果 X 是一个矩形块中的像素值, 并且每个像素值的概率相同 \(p_i=\frac{1}{n}\), 那么:
\[\begin{equation}
\begin{aligned}\mu=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i
\end{aligned}
\end{equation}
\]
这个求和可以通过 \(I(\vec{x})\) 的积分图求解. 对于一个二维图像, 在单个 loop 中, 积分图计算会平均使用 1 次乘积和 3 次求和, 每个像素数据访问需要 5 次求和. 使用积分图, 任意矩形块的像素值的均值都可以在常数时间内计算, 即计算时需要 1 次乘积和 3 次求和, 数据访问需要 2 次乘积和 6 次求和.
方差
随机变量 \(X=\{x_1,\dots,x_n\}\) 的离散分布的方差 \(\text{Var}(X)\) 定义为:
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^np_i(x_i-\mu)^2 \quad\text{with}\quad \mu=\sum_{i=1}^np_ix_i
\end{aligned}
\end{equation}
\]
如果 X 是一个矩形块中的像素值, 并且每个像素值的概率相同 \(p_i=\frac{1}{n}\), 那么:
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\text{Var}(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 \quad\text{and}\quad \mu=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i
\end{aligned}
\end{equation}
\]
展开公式可得:
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\text{Var}(x) &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_i^2-2x_i\mu+\mu^2\right) \\
&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2 - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n2x_i\mu + \mu^2 \\
&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2 - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n2x_i\mu + \frac{1}{n^2}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\\
&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2 - \frac{2\mu}{n}\sum_{i=1}^nx_i + \frac{1}{n^2}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\\
&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2 - \frac{2}{n^2}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2 + \frac{1}{n^2}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\\
&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2 - \frac{1}{n^2}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\\
&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2 - \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\\
&= \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\right)\\
\end{aligned}
\end{equation}
\]
每一个求和都可以使用两个积分图: \(I(\vec{x})\) 和 \(I(\vec{x})^2\). 对于一个二维图像, 在单个 loop 中, 积分图计算会平均使用 1 次乘积和 6 次求和, 每个像素数据访问需要 5 次求和. 使用积分图, 任意矩形块的像素值的方差都可以在常数时间内计算, 即计算时需要 3 次乘积和 9 次求和, 数据访问需要 2 次乘积和 6 次求和.
使用积分图进行块匹配(Block Matching)
考虑这样一种场景: 两张部分重叠的图像区域 X 和 Y 可能在图像亮度和对比度上有所不同, 使用简单的估计器 (simple estimator), 比如 Mean Square Error (MSE) 并不能测量两个图像区域的相似度, 因为 MSE 对于线性变换不是固定不变的.
此时, 我们需要一种线性相关的测量方法. 皮尔森乘积矩相关系数 (PMCC, Pearson Product-Moment Correlation Coefficient) \(\rho_{X,Y}\) 就是一种线性相关的测量方法:
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\rho_{XY} = \frac{\sigma_{XY}}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}
\end{aligned}
\end{equation}
\]
其中, 对 X 进行 n~elements 的有限采样, 那么每一个样本的相关系数 \(r_{XY}\) 为:
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
r_{XY} = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_X)(y_i-\mu_Y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_X)^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n(y_i-\mu_Y)^2}}\quad\text{其中,}\quad\mu_X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i
\end{aligned}
\end{equation}
\]
可以将公式的分子变形为:
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_X)(y_i-\mu_Y) &= \sum_{i=1}^nx_iy_i-\sum_{i=1}^nx_i\mu_Y-\sum_{i=1}^ny_i\mu_X+\sum_{i=1}^n\mu_X\mu_Y \\
&= \sum_{i=1}^nx_iy_i-\mu_Y\sum_{i=1}^nx_i-\mu_X\sum_{i=1}^ny_i+n\mu_X\mu_Y\\
&= \sum_{i=1}^nx_iy_i-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i\sum_{i=1}^nx_i
\end{aligned}
\end{equation}
\]
对于整个分式乘以 \(\frac{n}{n}\):
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
r_{XY} &= \frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i\sum_{i=1}^nx_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_X)^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n(y_i-\mu_Y)^2}} \\
&= \frac{n\sum_{i=1}^nx_iy_i-\sum_{i=1}^ny_i\sum_{i=1}^nx_i}{n\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_X)^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n(y_i-\mu_Y)^2}} \\
&= \frac{n\sum_{i=1}^nx_iy_i-\sum_{i=1}^ny_i\sum_{i=1}^nx_i}{\sqrt{n\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_X)^2}\sqrt{n\sum_{i=1}^n(y_i-\mu_Y)^2}}
\end{aligned}
\end{equation}
\]
根据上面的推导, 可得:
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
n\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_X)^2 &= n\sum_{i=1}^n(x_i^2-2x_i\mu_X+\mu_X^2) \\
&= n\sum_{i=1}^nx_i^2 - 2n\mu_X\sum_{i=1}^nx_i + \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\\
&= n\sum_{i=1}^nx_i^2 - 2\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2 + \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\\
&= n\sum_{i=1}^nx_i^2 - \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2
\end{aligned}
\end{equation}
\]
因此:
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
r_{XY} = \frac{n\sum_{i=1}^nx_iy_i - \sum_{i=1}^nx_i\sum_{i=1}^ny_i}{\sqrt{n\sum_{i=1}^nx_i^2 - \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2}\sqrt{n\sum_{i=1}^ny_i^2 - \left(\sum_{i=1}^ny_i\right)^2}}
\end{aligned}
\end{equation}
\]
由公式可以看出, 我们计算图像上固定偏移处的每个 block 的 \(r_{XY}\) 时, 都只需要计算 5 个 summed-area tables, 即 \(x_iy_i, x_i, y_i, x_i^2, y_i^2\), 因此算法复杂度是常数.
在一些求极值的问题中, 我们可以估计出 \(r_{XY}^2\) 和 \(r_{XY}\) 的符号(即分子的符号)即可. 这样就可以避免计算开根号来提高效率.
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
r_{XY}^2 = \frac{a^2}{\left(n\sum_{i=1}^nx_i^2 - \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\right)\left(n\sum_{i=1}^ny_i^2 - \left(\sum_{i=1}^ny_i\right)^2\right)}
\end{aligned}
\end{equation}
\]
with
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
a = n\sum_{i=1}^nx_iy_i - \sum_{i=1}^nx_i\sum_{i=1}^ny_i\quad\text{and}\quad{}sgn(r_{XY}) = sgn(a)
\end{aligned}
\end{equation}
\]
参考资料
[1]: Integral Image Filter
[2]: Crow, Franklin C. (1984). "Summed-area tables for texture mapping". Proceedings of the 11th annual conference on Computer graphics and interactive techniques: 207–212, ACM. doi:10.1145/800031.808600.
[3]: Lewis, J. P. (1995). "Fast template matching". Vision Interface 95: 120–123, Canadian Image Processing and Pattern Recognition Society.
[4]: Viola, Paul & Jones, Michael J. (2004), "Robust Real-Time Face Detection", International Journal of Computer Vision 57 (2): 137–154
[5]: Bay, Herbert; Ess, Andreas & Tuytelaars, Tinne et al. (2008), "SURF: Speeded Up Robust Features", Computer Vision and Image Understanding (CVIU) 110 (3): 346–359
